Resolva os problemas de valor inicial dados a seguir:
\left\{\begin{array}{l}2 x^{2} \frac{d y}{d x}=3 x y+y^{2} \\\ y(1)=-2\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede para resolver o problema de valor inicial dado por
\left\{\begin{array}{l} 2 x^{2}\dfrac{d y}{d x}=3 x y+y^{2},\\[6pt] y(1)=-2. \end{array}\right.
Informações fornecidas:
2 x^{2}\dfrac{d y}{d x}=3 x y+y^{2}
e a condição inicial
y(1)=-2.
A nossa meta é encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial para x em alguma vizinhança de 1 e que tome o valor -2 quando x=1.]

Passo 2

Primeiro colocamos a equação diferencial numa forma mais conveniente, isolando \dfrac{d y}{d x}. Dividindo ambos os lados por 2x^{2} (assumindo x\neq0) obtemos
\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{3x y+y^{2}}{2x^{2}}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{y^{2}}{x^{2}}.
Reescrevendo para evidenciar a estrutura padrão:
\dfrac{d y}{d x}-\dfrac{3}{2x}\,y=\dfrac{1}{2x^{2}}\,y^{2}.
Aqui note que a equação tem a forma da equação de Bernoulli
\dfrac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
com n=2. Não pule etapas: identificar que n=2 é crucial porque existe uma transformação padrão para linearizar.

Passo 3

A técnica de Bernoulli manda usar a substituição
v=y^{1-n}=y^{-1}=\dfrac{1}{y}.
Vamos calcular \dfrac{dv}{dx} em termos de \dfrac{dy}{dx}. Diferenciando v=\dfrac{1}{y} obtemos
\dfrac{dv}{dx}=-\dfrac{1}{y^{2}}\dfrac{dy}{dx}.
Agora multiplicamos a equação reescrita por -\dfrac{1}{y^{2}} para usar essa relação. Partindo de
\dfrac{d y}{d x}-\dfrac{3}{2x}\,y=\dfrac{1}{2x^{2}}\,y^{2},
multiplicando por -\dfrac{1}{y^{2}} fica
-\dfrac{1}{y^{2}}\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{3}{2x}\cdot\dfrac{1}{y}=-\dfrac{1}{2x^{2}}.
Agora substituímos -\dfrac{1}{y^{2}}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dv}{dx} e \dfrac{1}{y}=v. Isso dá uma equação linear em v:
\dfrac{dv}{dx}+\dfrac{3}{2x}\,v=-\dfrac{1}{2x^{2}}.

Passo 4

Temos agora uma equação linear de primeira ordem em v:
\dfrac{dv}{dx}+P(x)\,v=R(x),
com P(x)=\dfrac{3}{2x} e R(x)=-\dfrac{1}{2x^{2}}. Método: fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int P(x)\,dx\big). Calculamos
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \dfrac{3}{2x}\,dx\Big)=\exp\!\Big(\dfrac{3}{2}\ln|x|\Big)=|x|^{3/2}.
Como a condição inicial está em x=1>0, podemos tomar \mu(x)=x^{3/2}. Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
x^{3/2}\dfrac{dv}{dx}+\dfrac{3}{2}x^{1/2}v = -\dfrac{1}{2}x^{-1/2}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(x^{3/2}v\big), logo
\dfrac{d}{dx}\big(x^{3/2}v\big)=-\dfrac{1}{2}x^{-1/2}.
Integramos ambos os lados em x:
x^{3/2}v=\int -\dfrac{1}{2}x^{-1/2}\,dx = -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x^{1/2}}{1/2}+C = -x^{1/2}+C,
onde C é a constante de integração. Assim
v=\dfrac{-x^{1/2}+C}{x^{3/2}}=-\dfrac{1}{x}+C x^{-3/2}.

Passo 5

Voltamos à variável original usando v=\dfrac{1}{y}. Então
\dfrac{1}{y}=-\dfrac{1}{x}+C x^{-3/2}.
Isolando y:
y=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{x}+C x^{-3/2}}.
Para simplificar, colocamos o denominador sobre um denominador comum x^{3/2}:
-\dfrac{1}{x}+C x^{-3/2}=\dfrac{-x^{1/2}+C}{x^{3/2}},
portanto
y=\dfrac{x^{3/2}}{-x^{1/2}+C}=\dfrac{x^{3/2}}{C-x^{1/2}}.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial y(1)=-2 para determinar C. Substituindo x=1 na expressão de y:
y(1)=\dfrac{1^{3/2}}{C-1^{1/2}}=\dfrac{1}{C-1}=-2.
Logo
\dfrac{1}{C-1}=-2 \quad\Rightarrow\quad C-1=-\dfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad C=\dfrac{1}{2}.
Substituindo C=\dfrac{1}{2} na fórmula geral:
y(x)=\dfrac{x^{3/2}}{\tfrac{1}{2}-x^{1/2}}.
Podemos multiplicar numerador e denominador por 2 para ficar mais “bonitinho”:
y(x)=\dfrac{2x^{3/2}}{1-2x^{1/2}}.
Verificação rápida do valor inicial: para x=1 obtemos y(1)=\dfrac{2\cdot1}{1-2}=2/(-1)=-2, bate com a condição dada.

Resposta

y(x)=\dfrac{2x^{3/2}}{1-2x^{1/2}}

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