Classifique as seguintes equações diferenciais quanto à simplicidade, quanto à ordem e quanto à linearidade:
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação diferencial:
O que ele pede: classificar essa equação quanto a três aspectos:
- “Simplicidade” — identificar que tipo de equação é (por exemplo: ordinária ou parcial; autônoma ou não-autônoma; etc.).
- Ordem — qual é a ordem da equação (isto é, a maior derivada que aparece).
- Linearidade — determinar se a equação é linear ou não e explicar por quê.
Informações dadas que vamos usar: a incógnita éfunção de ; aparecem as derivadas e ; há termos com , com e com .
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
Ordem é o maior número de derivada da função desconhecida que aparece na equação. Exemplo: numa equação com (terceira derivada) a ordem é
.
Na equação dada o maior derivado que aparece é (segunda derivada). Portanto a ordem é:
Ordem é o maior número de derivada da função desconhecida que aparece na equação. Exemplo: numa equação com
Na equação dada o maior derivado que aparece é
Explicação curta: basta olhar qual é a derivada de maior ordem presente — aqui é
.
Passo 3
O que significa “linearidade” de uma EDO de ordem
?
Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma
Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
dependem apenas da variável independente (aqui
) e não dependem de
nem de suas derivadas; o termo à direita
também depende somente de
. Em linguagem simples:
e suas derivadas aparecem apenas com potência
e sem multiplicação entre elas ou com funções de
.
Aplicando essa definição à equação dada: escrevemos
Note que o coeficiente que multiplica
é
, que depende de
. Isso viola a condição de linearidade (os coeficientes não podem depender de
). Mesmo se dividíssemos ambos os lados por
teríamos
e ainda aparecem termos onde os coeficientes dependem de
. Portanto a equação não é linear. Conclusão:
Passo 4
Explicando “simplicidade” no sentido de tipo básico da EDO (o que normalmente se pede):
- Uma equação é “ordinária” quando envolve derivadas em relação a apenas uma variável independente; é “parcial” quando envolve derivadas parciais em relação a mais de uma variável. Aqui aparecem derivadas ordinárias
e em relação a apenas, então é uma equação diferencial ordinária (EDO). - Uma equação é “autônoma” se a variável independente
não aparece explicitamente nos coeficientes nem no termo independente. Na nossa equação aparece multiplicando e também aparece no lado direito; portanto a equação depende explicitamente de e é não-autônoma. - Como comentário adicional útil para provas: se a equação fosse linear e o lado direito fosse zero (
), diríamos que é homogênea; aqui o lado direito é , então, no caso linear, seria não-homogênea. Mas como a equação é não linear, a noção de homogeneidade linear não se aplica diretamente da mesma maneira.
Resumindo a simplicidade/tipo:
Passo 5
Para fixar a ideia com exemplos rápidos (úteis na prova):
- Exemplo de EDO linear de segunda ordem:
— aqui dependem só de . - Exemplo de EDO não linear:
(a nossa) — porque o coeficiente de depende de . - Exemplo de EDO autônoma:
(não aparece explicitamente).
Lembre-se na prova: para testar linearidade, verifique se algum coeficiente depende deou de derivadas de . Se sim, é não linear.
Resposta
Quanto à simplicidade: é uma equação diferencial ordinária (EDO), não-autônoma.
Quanto à ordem: segunda ordem.
Quanto à linearidade: não linear (o coeficiente de
é
, que depende de
).