Classifique as seguintes equações diferenciais quanto à simplicidade, quanto à ordem e quanto à linearidade:
\left(1+y^{2}\right) y^{\prime \prime}+t y^{\prime}+y=e^{t}

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação diferencial:
(1+y^{2})\,y'' + t\,y' + y = e^{t}.
O que ele pede: classificar essa equação quanto a três aspectos:
  1. “Simplicidade” — identificar que tipo de equação é (por exemplo: ordinária ou parcial; autônoma ou não-autônoma; etc.).
  2. Ordem — qual é a ordem da equação (isto é, a maior derivada que aparece).
  3. Linearidade — determinar se a equação é linear ou não e explicar por quê.
    Informações dadas que vamos usar: a incógnita é y função de t; aparecem as derivadas y' e y''; há termos com t, com y e com e^{t}.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
Ordem é o maior número de derivada da função desconhecida que aparece na equação. Exemplo: numa equação com y''' (terceira derivada) a ordem é 3.
Na equação dada o maior derivado que aparece é y'' (segunda derivada). Portanto a ordem é:
\text{ordem} = 2.
Explicação curta: basta olhar qual é a derivada de maior ordem presente — aqui é \,y''\,.

Passo 3

O que significa “linearidade” de uma EDO de ordem n?
Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma
a_n(t)\,y^{(n)} + a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = g(t),
onde os coeficientes a_k(t) dependem apenas da variável independente (aqui t) e não dependem de y nem de suas derivadas; o termo à direita g(t) também depende somente de t. Em linguagem simples: y e suas derivadas aparecem apenas com potência 1 e sem multiplicação entre elas ou com funções de y.
Aplicando essa definição à equação dada: escrevemos
(1+y^{2})\,y'' + t\,y' + y = e^{t}.
Note que o coeficiente que multiplica y'' é 1+y^{2}, que depende de y. Isso viola a condição de linearidade (os coeficientes não podem depender de y). Mesmo se dividíssemos ambos os lados por 1+y^{2} teríamos
y'' + \frac{t}{1+y^{2}}\,y' + \frac{y}{1+y^{2}} = \frac{e^{t}}{1+y^{2}},
e ainda aparecem termos onde os coeficientes dependem de y. Portanto a equação não é linear. Conclusão:
\text{linearidade: não linear (não é linear em }y\text{)}.ããé

Passo 4

Explicando “simplicidade” no sentido de tipo básico da EDO (o que normalmente se pede):
  • Uma equação é “ordinária” quando envolve derivadas em relação a apenas uma variável independente; é “parcial” quando envolve derivadas parciais em relação a mais de uma variável. Aqui aparecem derivadas ordinárias y' e y'' em relação a t apenas, então é uma equação diferencial ordinária (EDO).
  • Uma equação é “autônoma” se a variável independente t não aparece explicitamente nos coeficientes nem no termo independente. Na nossa equação aparece t multiplicando y' e também aparece e^{t} no lado direito; portanto a equação depende explicitamente de t e é não-autônoma.
  • Como comentário adicional útil para provas: se a equação fosse linear e o lado direito fosse zero ( g(t)=0), diríamos que é homogênea; aqui o lado direito é e^{t}\neq 0, então, no caso linear, seria não-homogênea. Mas como a equação é não linear, a noção de homogeneidade linear não se aplica diretamente da mesma maneira.
Resumindo a simplicidade/tipo:
\text{é uma EDO (ordinária), e é não-autônoma (depende explicitamente de }t\text{).}éáéãô

Passo 5

Para fixar a ideia com exemplos rápidos (úteis na prova):
  • Exemplo de EDO linear de segunda ordem: \;y'' + p(t)\,y' + q(t)\,y = r(t)\; — aqui p,q,r dependem só de t.
  • Exemplo de EDO não linear: \; (1+y^2)y'' + t y' + y = e^{t}\; (a nossa) — porque o coeficiente de y'' depende de y.
  • Exemplo de EDO autônoma: \;y'' + y = 0\; (não aparece t explicitamente).
    Lembre-se na prova: para testar linearidade, verifique se algum coeficiente depende de y ou de derivadas de y. Se sim, é não linear.

Resposta

Quanto à simplicidade: é uma equação diferencial ordinária (EDO), não-autônoma.
Quanto à ordem: segunda ordem.
Quanto à linearidade: não linear (o coeficiente de \,y'' é 1+y^{2}, que depende de y).

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