Resolva os problemas de valor inicial dados a seguir:
\left\{\begin{array}{l}(x+\sqrt{x y}) \frac{d y}{d x}+x-y=x^{-1 / 2} y^{3 / 2} \\\ y(1)=1\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede para encontrar a solução da equação diferencial com condição inicial
\left\{\begin{array}{l} (x+\sqrt{x y})\dfrac{dy}{dx}+x-y=x^{-1/2}y^{3/2},\\[6pt] y(1)=1. \end{array}\right.
Informações dadas importantes:
\;x e y(x) aparecem misturados em termos de potências fracionárias \sqrt{x y} e x^{-1/2}y^{3/2}.
A condição inicial é y(1)=1.
A missão é achar y(x) (ou uma relação implícita para y) que satisfaça a equação e a condição inicial.]

Passo 2

Observação útil (explico por quê): temos termos como \sqrt{x y} e x^{-1/2}y^{3/2}. Esses termos ficam muito simples se introduzirmos uma nova função que trate da razão entre y e x em potência quadrada. Então definimos a substituição
z(x)=\sqrt{\dfrac{y(x)}{x}}.
Explico a motivação: se z=\sqrt{y/x} então y=x z^2 e várias raízes e potências na equação ficam em potências inteiras de x e z. A condição inicial fornece z(1)=\sqrt{y(1)/1}=1. Assumimos z>0 perto de x=1 (compatível com a condição inicial).

Passo 3

Calculemos a derivada dy/dx em função de z e z'. Como y=x z^2, pela regra do produto
\dfrac{dy}{dx}=z^2 + x\cdot 2z z' = z^2 + 2x z z'.
Agora expressamos os outros termos em z:
\sqrt{x y} = \sqrt{x\cdot x z^2}=x z\quad(\text{usando }z\ge0),
x^{-1/2}y^{3/2}=x^{-1/2}(x z^2)^{3/2}=x^{-1/2}x^{3/2} z^3 = x z^3,
y = x z^2.
Substituindo tudo na equação original:
(x + x z)\bigl(z^2 + 2x z z'\bigr) + x - x z^2 = x z^3.

Passo 4

Simplificamos termos passo a passo. Primeiro fatoramos x em x+x z=x(1+z):
x(1+z)(z^2 + 2x z z') + x - x z^2 = x z^3.
Expandindo x(1+z)z^2 = x z^2 + x z^3 e observando que há um +x - x z^2 que cancela o x z^2, obtemos
x z^3 + 2x^2 z(1+z)z' + x - x z^2 = x z^3 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 z(1+z)z' + x = 0.
Dividindo ambos os lados por x (considerando x\neq0, e a condição inicial x=1 está em x>0):
2x z(1+z) z' = -1.

Passo 5

Isolamos os termos para fazer separação de variáveis: escrevemos z' como dz/dx e colocamos todos os termos com z de um lado e os termos com x do outro:
2 z(1+z)\,dz = -\dfrac{dx}{x}.
Isso é separável: a esquerda depende só de z, a direita só de x.

Passo 6

Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo:
\int 2 z(1+z)\,dz = \int (2z + 2z^2)\,dz = z^2 + \dfrac{2}{3} z^3 + C_1.
Do lado direito:
\int -\dfrac{dx}{x} = -\ln|x| + C_2.
Unindo constantes ( C=C_2-C_1) obtemos a relação implícita
z^2 + \dfrac{2}{3} z^3 = -\ln|x| + C.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial x=1, y(1)=1\Rightarrow z(1)=1. Substituindo x=1 e z=1 na relação implícita:
1^2 + \dfrac{2}{3}\cdot 1^3 = -\ln 1 + C \quad\Longrightarrow\quad 1 + \dfrac{2}{3} = 0 + C,
portanto C=\dfrac{5}{3}. Assim a relação final para z é
z^2 + \dfrac{2}{3} z^3 = \dfrac{5}{3} - \ln|x|.

Passo 8

Voltamos para y. Lembrando que y=x z^2 e que z é a função (positiva) de x definida implicitamente acima, a solução do problema é dada implicitamente por essa equação. Observações finais: a solução está válida em um intervalo contendo x=1 com x>0 (para evitar problemas com \ln|x| e porque usamos a raiz positiva). Para obter y explicitamente seria necessário resolver a cúbica em z, o que em geral dá expressão complicada; na maioria das provas a forma implícita é aceita.

Resposta

y=x z^2
z^2+\dfrac{2}{3}z^3=\dfrac{5}{3}-\ln|x|

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