Resolva os problemas de valor inicial dados a seguir: \left\{\begin{array}{l}(x+\sqrt{x y}) \frac{d y}{d x}+x-y=x^{-1 / 2} y^{3 / 2} \\\ y(1)=1\end{array}\right.
Passo 1
O problema pede para encontrar a solução da equação diferencial com condição inicial
Informações dadas importantes: \;x e y(x) aparecem misturados em termos de potências fracionárias \sqrt{x y} e x^{-1/2}y^{3/2}.
A condição inicial é y(1)=1.
A missão é achar y(x) (ou uma relação implícita para y) que satisfaça a equação e a condição inicial.]
Passo 2
Observação útil (explico por quê): temos termos como \sqrt{x y} e x^{-1/2}y^{3/2}. Esses termos ficam muito simples se introduzirmos uma nova função que trate da razão entre y e x em potência quadrada. Então definimos a substituição
z(x)=\sqrt{\dfrac{y(x)}{x}}.
Explico a motivação: se z=\sqrt{y/x} então y=x z^2 e várias raízes e potências na equação ficam em potências inteiras de x e z. A condição inicial fornece z(1)=\sqrt{y(1)/1}=1. Assumimos z>0 perto de x=1 (compatível com a condição inicial).
Passo 3
Calculemos a derivada dy/dx em função de z e z'. Como y=x z^2, pela regra do produto
\sqrt{x y} = \sqrt{x\cdot x z^2}=x z\quad(\text{usando }z\ge0),
x^{-1/2}y^{3/2}=x^{-1/2}(x z^2)^{3/2}=x^{-1/2}x^{3/2} z^3 = x z^3,
y = x z^2.
Substituindo tudo na equação original:
(x + x z)\bigl(z^2 + 2x z z'\bigr) + x - x z^2 = x z^3.
Passo 4
Simplificamos termos passo a passo. Primeiro fatoramos x em x+x z=x(1+z):
x(1+z)(z^2 + 2x z z') + x - x z^2 = x z^3.
Expandindo x(1+z)z^2 = x z^2 + x z^3 e observando que há um +x - x z^2 que cancela o x z^2, obtemos
x z^3 + 2x^2 z(1+z)z' + x - x z^2 = x z^3 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 z(1+z)z' + x = 0.
Dividindo ambos os lados por x (considerando x\neq0, e a condição inicial x=1 está em x>0):
2x z(1+z) z' = -1.
Passo 5
Isolamos os termos para fazer separação de variáveis: escrevemos z' como dz/dx e colocamos todos os termos com z de um lado e os termos com x do outro:
2 z(1+z)\,dz = -\dfrac{dx}{x}.
Isso é separável: a esquerda depende só de z, a direita só de x.
Passo 6
Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo:
portanto C=\dfrac{5}{3}. Assim a relação final para z é
z^2 + \dfrac{2}{3} z^3 = \dfrac{5}{3} - \ln|x|.
Passo 8
Voltamos para y. Lembrando que y=x z^2 e que z é a função (positiva) de x definida implicitamente acima, a solução do problema é dada implicitamente por essa equação. Observações finais: a solução está válida em um intervalo contendo x=1 com x>0 (para evitar problemas com \ln|x| e porque usamos a raiz positiva). Para obter y explicitamente seria necessário resolver a cúbica em z, o que em geral dá expressão complicada; na maioria das provas a forma implícita é aceita.