Classifique as seguintes equações diferenciais em sep nenhum dos tipos ( N ).
(5) y^-1 d y+y e^cos x sin x d x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar a seguinte equação diferencial:
y^-1 , dy + y , e^cos x sin x , dx = 0
Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para classificá-la, vamos verificar se ela é separável, exata, linear ou se não se encaixa em nenhum desses tipos (N). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cada tipo e aplicar os conceitos na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis. Uma equação é separável quando podemos reorganizar os termos envolvendo $ y $ de um lado e os termos envolvendo $ x $ de outro lado. Vamos ver se conseguimos fazer isso.
A equação dada é:
y
Podemos reescrever isso como:
x
Agora, multiplicando ambos os lados por $ y $ para simplificar:
y^-1 , dy + y , e^cos x sin x , dx = 0
Isso simplifica para:
y^-1 , dy = -y , e^cos x sin x , dx
Agora, temos $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro, mas ainda há um $ y^{2} $ misturado com funções de $ x $, o que dificulta a separação completa. Então, a equação não é separável.

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se puder ser escrita na forma:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
E se satisfizer a condição:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos reorganizar a equação original:
y^-1 , dy + y , e^cos x sin x , dx = 0
Colocando na forma padrão:
y , e^cos x sin x , dx + y^-1 , dy = 0
Aqui, temos:
  • $ M(x, y) = y , e^{\cos x} \sin x $
  • $ N(x, y) = y^{-1} $
Vamos calcular as derivadas parciais:
M(x, y) = y , e^cos x sin x
N(x, y) = y^-1
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata.

Passo 4

Agora, vamos ver se a equação é linear. Uma equação é linear se puder ser escrita na forma:
dydx + P(x) y = Q(x)
Vamos reorganizar a equação original para isolar $ \frac{dy}{dx} $:
Do Passo 2, temos:
dydx
Comparando com a forma linear:
dydx = -y^2 , e^cos x sin x
Aqui, nosso termo envolvendo $ y $ é dydx + P(x) y = Q(x) , que não é linear em $ y $ (porque temos $ y^2 $). Portanto, a equação não é linear.

Resposta

A equação diferencial fornecida não se encaixa em nenhum dos tipos padrões (separável, exata ou linear). Portanto, a classificação é N.

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