Classifique as seguintes equações diferenciais em sep nenhum dos tipos ( N ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar a seguinte equação diferencial:
Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para classificá-la, vamos verificar se ela é separável, exata, linear ou se não se encaixa em nenhum desses tipos (N). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cada tipo e aplicar os conceitos na resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis. Uma equação é separável quando podemos reorganizar os termos envolvendo $ y $ de um lado e os termos envolvendo $ x $ de outro lado. Vamos ver se conseguimos fazer isso.
A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, multiplicando ambos os lados por $ y $ para simplificar:
Isso simplifica para:
Agora, temos $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro, mas ainda há um $ y^{2} $ misturado com funções de $ x $, o que dificulta a separação completa. Então, a equação não é separável.
Passo 3
Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se puder ser escrita na forma:
E se satisfizer a condição:
Vamos reorganizar a equação original:
Colocando na forma padrão:
Aqui, temos:
- $ M(x, y) = y , e^{\cos x} \sin x $
- $ N(x, y) = y^{-1} $
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata.
Passo 4
Agora, vamos ver se a equação é linear. Uma equação é linear se puder ser escrita na forma:
Vamos reorganizar a equação original para isolar $ \frac{dy}{dx} $:
Do Passo 2, temos:
Comparando com a forma linear:
Aqui, nosso termo envolvendo $ y $ é
, que não é linear em $ y $ (porque temos $ y^2 $). Portanto, a equação não é linear.
Resposta
A equação diferencial fornecida não se encaixa em nenhum dos tipos padrões (separável, exata ou linear). Portanto, a classificação é N.