Classifique as seguintes equações diferenciais em separáveis (S), lineares (L), exatas (E) ou nenhum dos tipos (N).
(2 x y) d x+\left(y^{2}-3 x^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial de primeira ordem
(2xy)\,dx + \bigl(y^2 - 3x^2\bigr)\,dy = 0
como separável (S), linear (L), exata (E) ou nenhum desses tipos (N). Vamos testar cada caso.

Passo 2

Teste de separabilidade. Escrevendo em forma de derivada,
\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{\,y^2 - 3x^2\,}.
Para ser separável, precisaríamos de algo como f(x)\,g(y). Aqui
-\frac{2xy}{\,y^2 - 3x^2\,} = -\frac{2y}{\,x\bigl((y/x)^2 - 3\bigr)\,},
que não se decompõe em função de x vezes função de y. Logo, não é separável.

Passo 3

Teste de linearidade. A forma padrão é
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Mas no nosso caso
\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{\,y^2 - 3x^2\,},
o coeficiente de y dependeria também de y, não apenas de x. Portanto não é linear.

Passo 4

Teste de exatidão. Identificamos
M(x,y) = 2xy, \quad N(x,y) = y^2 - 3x^2.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -6x,
e vemos que 2x \neq -6x. A equação não é exata.

Resposta

N

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