Classifique as seguintes equações diferenciais em separáveis (S), lineares (L), exatas (E) ou nenhum dos tipos (N).
\left(1+e^{x} y+x e^{x} y\right) d x+\left(x e^{x}+2\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação
\bigl(1 + e^{x}y + x e^{x}y\bigr)\,dx + \bigl(x e^{x} + 2\bigr)\,dy = 0
nos tipos separável (S), linear (L), exata (E) ou nenhum (N).

Passo 2

Para testar se é separável, escrevemos
y' = -\frac{1 + e^{x}y + x e^{x}y}{x e^{x} + 2}
e vemos que o lado direito não se factoriza como f(x)\,g(y). Logo, não é separável.

Passo 3

Para testar linearidade, colocamos na forma y' + P(x)\,y = Q(x).
Escrevendo
y' = -\frac{1}{x e^{x}+2} \;-\;\frac{e^{x}(1+x)}{x e^{x}+2}\,y
vemos que
P(x) = \frac{e^{x}(1+x)}{x e^{x}+2}, \quad Q(x) = -\frac{1}{x e^{x}+2}.
Como está no formato linear em y, a equação é linear (L).

Passo 4

Para verificar exatidão, definimos
M(x,y) = 1 + e^{x}y + x e^{x}y, \quad N(x,y) = x e^{x} + 2
e calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x}(1+x), \quad \frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + x e^{x} = e^{x}(1+x).
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata (E).

Resposta

L, E

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