- (2.0 pt.) Transforme a equação não exata em exata e resolva.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O conteúdo é de equações diferenciais exatas e fatores integrantes, e vamos precisar testar exatidão e, se necessário, encontrar um fator integrante para transformar em exata.
Passo 2
Escrevemos no formato
com
Calculamos as derivadas parciais
que não coincidem, logo a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. Usamos a condição
que é função apenas de
. Assim
Para simplificar tomamos
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
Agora
e verificamos
logo a equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
e
.
Integramos em relação a
:
Integramos
Passo 6
Derivando em relação a
:
deve ser igual a
.
Comparando, obtemos
Comparando, obtemos
Logo
Passo 7
A solução implícita geral é
isto é