1. (2.0 pt.) Transforme a equação não exata em exata e resolva.
y^{2} d x-(x y+1) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^{2}\,dx \;-\;(x\,y+1)\,dy \;=\;0.
O conteúdo é de equações diferenciais exatas e fatores integrantes, e vamos precisar testar exatidão e, se necessário, encontrar um fator integrante para transformar em exata.

Passo 2

Escrevemos no formato M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=y^{2}, \quad N(x,y)=-(x\,y+1).
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-y,
que não coincidem, logo a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de y. Usamos a condição
\frac{1}{M}\bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\bigr) =\frac{-y-2y}{y^{2}} =-\frac{3}{y},
que é função apenas de y. Assim
\mu(y) =\exp\!\biggl(\int -\frac{3}{y}\,dy\biggr) =\exp(-3\ln|y|) =|y|^{-3}.
Para simplificar tomamos \mu(y)=y^{-3}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por y^{-3}:
y^{-1}\,dx-\bigl(x\,y^{-2}+y^{-3}\bigr)\,dy=0.
Agora
M^*=y^{-1}, \quad N^*=-(x\,y^{-2}+y^{-3}),
e verificamos
\frac{\partial M^*}{\partial y}=-y^{-2}, \qquad \frac{\partial N^*}{\partial x}=-y^{-2},
logo a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=M^* e \phi_y=N^*.
Integramos \phi_x=y^{-1} em relação a x:
\varphi(x,y)=x\,y^{-1}+h(y).

Passo 6

Derivando em relação a y:
\phi_y=-x\,y^{-2}+h'(y)
deve ser igual a N^*=-x\,y^{-2}-y^{-3}.
Comparando, obtemos
h'(y)=-y^{-3} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\int -y^{-3}\,dy=\tfrac12\,y^{-2}.
Logo
\varphi(x,y)=\frac{x}{y}+\frac{1}{2y^{2}}.

Passo 7

A solução implícita geral é
\varphi(x,y)=C,
isto é
\frac{x}{y}+\frac{1}{2y^{2}}=C.

Resposta

\frac{x}{y}+\frac{1}{2y^{2}}=C.

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