Classifique as seguintes equações como EDO ou EDP.
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}+u \frac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}+u\,\frac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}}=0.
O que se pede: classificar se essa equação é uma EDO (equação diferencial ordinária) ou uma EDP (equação diferencial parcial).
Informações fornecidas que vamos usar:
  • Aparecem derivadas com o símbolo \partial em relação a t e a s.
  • A incógnita é u, que depende (pela notação) de pelo menos as variáveis s e t.

Passo 2

Explicando a diferença básica (rápido e didático):
  • Uma EDO envolve derivadas ordinárias \dfrac{d}{dx} e tem apenas uma variável independente (por exemplo y=y(x) e \dfrac{d^2 y}{dx^2}+y=0).
  • Uma EDP envolve derivadas parciais \dfrac{\partial}{\partial x} e tem duas ou mais variáveis independentes (por exemplo u_t = u_{xx}, onde u=u(x,t)).
O símbolo \partial indica derivada parcial: é a derivada de u em relação a uma variável mantendo as outras fixas. Por isso a presença de \partial já sugere que há mais de uma variável independente.

Passo 3

Olhe para a equação dada: ela contém \dfrac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} e \dfrac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}}. Essas são derivadas parciais em relação a duas variáveis diferentes ( t e s). Logo a incógnita u é função de pelo menos duas variáveis independentes, isso é característico de uma EDP. Conclusão parcial: é uma EDP.

Passo 4

Complemento didático — ordem e linearidade (útil para a prova):
  • Ordem: a maior ordem de derivada aparente é 2 (segundas derivadas), então é uma equação de segunda ordem.
  • Linearidade: uma equação diferencial é linear nas derivadas de maior ordem se os termos que envolvem essas derivadas aparecem de forma linear (sem produtos entre derivadas ou funções da própria solução multiplicando derivadas de maior ordem). Aqui o termo u\,\dfrac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}} tem a função u multiplicando a segunda derivada \dfrac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}}; como o coeficiente depende de u (a própria solução), a equação é não linear. Mais precisamente, é “quase-linear” (ou quasilinear) no sentido de que é linear nas derivadas de segunda ordem, mas os coeficientes dependem de u, portanto não é linear homogênea.

Passo 5

Observação extra (útil para entender comportamento): escrevendo a parte de segunda ordem na forma padrão
A(s,t,u)\,u_{ss}+2B(s,t,u)\,u_{st}+C(s,t,u)\,u_{tt}+\cdots=0,
aqui A=u, B=0, C=1. A classificação geométrica (elíptica/hiperbólica/parabólica) depende do sinal do discriminante B^{2}-AC=-u. Assim o tipo da equação muda conforme o valor de u: se u>0 é localmente elíptica, se u<0 é localmente hiperbólica, e se u=0 há degenerescência (parabólica/degenerada). Isso é só um comentário adicional; a tarefa principal era distinguir EDO/EDP.

Resposta

EDP

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