Verifique se cada funçīo abaixo é par, impar ou nem par e nem impar.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a função
é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Informação dada: a função é .
Perguntas explícitas: verificar as propriedades de paridade — isto é, testar se (par) ou
(ímpar) para todo
no domínio.
Informação dada: a função é
Perguntas explícitas: verificar as propriedades de paridade — isto é, testar se
Passo 2
Definições (muito importantes — aqui a “aula rápida”!):
Nessas fórmulas,
representa um valor qualquer do domínio da função (normalmente
aqui). A ideia: para função par, o gráfico é simétrico em relação ao eixo
; para função ímpar, é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Calcular
substituindo
por
:
Agora calcular os termos:
Logo
Passo 4
Comparação com
. Temos
e
Ver se são iguais para todo
: suponha
. Então
Subtraindo
dos dois lados:
A igualdade só vale em
, não para todo
. Portanto a condição
não é satisfeita para todo
(logo \emph{não é par}).
Passo 5
Comparação com
. Calcule
:
Ver se
. Igualando:
Somando
aos dois lados:
Novamente a igualdade só vale em
, não para todo
. Portanto a condição
não é satisfeita para todo
(logo \emph{não é ímpar}).
Passo 6
Uma observação útil que ajuda a entender o porquê: qualquer função pode ser decomposta em parte par e parte ímpar por
Para
já calculamos
. Então
Aqui ambas as partes são não nulas (
e
), ou seja,
é soma de uma parte par e uma parte ímpar não-triviais, o que explica por que
não é puramente par nem puramente ímpar.
Resposta
Nem par nem ímpar.