Verifique se cada funçīo abaixo é par, impar ou nem par e nem impar.
f(x)=x^{2}+3 x

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a função f é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Informação dada: a função é f(x)=x^{2}+3x.
Perguntas explícitas: verificar as propriedades de paridade — isto é, testar se f(-x)=f(x) (par) ou f(-x)=-f(x) (ímpar) para todo x no domínio.

Passo 2

Definições (muito importantes — aqui a “aula rápida”!):
\text{Uma função }f\text{ é \emph{par} se }f(-x)=f(x)\text{ para todo }x.çãé
\text{Uma função }f\text{ é \emph{ímpar} se }f(-x)=-f(x)\text{ para todo }x.çãéí
Nessas fórmulas, x representa um valor qualquer do domínio da função (normalmente \mathbb{R} aqui). A ideia: para função par, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y; para função ímpar, é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Calcular f(-x) substituindo x por -x:
f(-x)=(-x)^{2}+3(-x).
Agora calcular os termos:
(-x)^{2}=x^{2},\qquad 3(-x)=-3x.
Logo
f(-x)=x^{2}-3x.

Passo 4

Comparação com f(x). Temos
f(x)=x^{2}+3x
e
f(-x)=x^{2}-3x.
Ver se são iguais para todo x: suponha f(-x)=f(x). Então
x^{2}-3x=x^{2}+3x.
Subtraindo x^{2} dos dois lados:
-3x=3x \implies 6x=0 \implies x=0.
A igualdade só vale em x=0, não para todo x. Portanto a condição f(-x)=f(x) não é satisfeita para todo x (logo \emph{não é par}).

Passo 5

Comparação com -f(x). Calcule -f(x):
-f(x)=-(x^{2}+3x)=-x^{2}-3x.
Ver se f(-x)=-f(x). Igualando:
x^{2}-3x=-x^{2}-3x.
Somando x^{2} aos dois lados:
2x^{2}=0 \implies x=0.
Novamente a igualdade só vale em x=0, não para todo x. Portanto a condição f(-x)=-f(x) não é satisfeita para todo x (logo \emph{não é ímpar}).

Passo 6

Uma observação útil que ajuda a entender o porquê: qualquer função pode ser decomposta em parte par e parte ímpar por
f_{\text{par}}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},\qquad f_{\text{ímpar}}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.í
Para f(x)=x^{2}+3x já calculamos f(-x)=x^{2}-3x. Então
f_{\text{par}}(x)=\frac{(x^{2}+3x)+(x^{2}-3x)}{2}=\frac{2x^{2}}{2}=x^{2},
f_{\text{ímpar}}(x)=\frac{(x^{2}+3x)-(x^{2}-3x)}{2}=\frac{6x}{2}=3x.í
Aqui ambas as partes são não nulas ( x^{2} e 3x), ou seja, f é soma de uma parte par e uma parte ímpar não-triviais, o que explica por que f não é puramente par nem puramente ímpar.

Resposta

Nem par nem ímpar.

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