Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
integral1^+infty 1x raizx^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
integral1^+infty1xraizx^2-1,dx
é convergente ou divergente.
Temos dois pontos a verificar: o comportamento em xto1^+ (singularidade no limite inferior) e o comportamento em xto+infty (limite superior). Vamos usar testes de comparação com integrais-padrão do tipo integral (x-1)^-pdx e integral x^-qdx.

Passo 2

Comportamento em xto1^+. Para 1<x<2 temos x>=1 e x+1>=2, de modo que
x^2-1=(x-1)(x+1)>=2(x-1),
logo
raizx^2-1>=raiz2(x-1) Longrightarrow 1xraizx^2-1<=11cdotraiz2(x-1) =1raiz2,(x-1)^-tfrac12
Como integral1^2(x-1)^-1/2dx converge (é um caso p-integral com p=tfrac12<1), concluímos que
integral1^21xraizx^2-1,dx
é finita.

Passo 3

Comportamento em xto+infty. Para x>1 temos
x^2-1>=tfrac12,x^2,
então
raizx^2-1>=xraiz2 Longrightarrow xraizx^2-1>=x^2raiz2 Longrightarrow 1xraizx^2-1<=raiz2x^2
Como integral2^inftyx^-2dx converge ( q=2>1), segue que
integral2^infty1xraizx^2-1,dx
é finita.

Passo 4

Ambas as partes da integral imprópria são finitas: a porção de 1 a 2 e a de 2 a +infty. Portanto, a integral completa converge.

Resposta

A integral integral1^+infty1xraizx^2-1,dx é convergente.

Exercícios relacionados