Dada a mudança de coordenadas esféricas e , com e , mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que o valor absoluto do determinante Jacobiano das coordenadas esféricas é igual a . Estamos trabalhando com coordenadas esféricas, que são usadas para representar pontos no espaço tridimensional de uma maneira diferente das coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o Jacobiano da transformação das coordenadas e depois encontrar o seu determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar das coordenadas esféricas para as coordenadas cartesianas . As fórmulas são:
Para encontrar o Jacobiano, precisamos construir a matriz das derivadas parciais dessas funções em relação a , e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de , e em relação a , e :
Agora, montamos a matriz Jacobiana:
Passo 4
Para encontrar o determinante dessa matriz, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Calculando o determinante:
|J| = rho^2 sin phi (cos^2 theta + sin^2 theta) = rho^2 sin phi (1) = rho^2 sin phi
Resposta
O valor absoluto do determinante Jacobiano é | J(rho, phi, theta) | = rho^2 sin phi .