Dada a mudança de coordenadas esféricas x=rho sin phi cos theta, y=rho sin phi sin theta e z=rho cos phi, com rho >= 0, theta0 <= theta<theta0+2 pi e 0 <= phi <= pi, mostre que:
|J(rho, phi, theta)|=rho^2 sin phi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que o valor absoluto do determinante Jacobiano das coordenadas esféricas é igual a rho^2 sin phi . Estamos trabalhando com coordenadas esféricas, que são usadas para representar pontos no espaço tridimensional de uma maneira diferente das coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o Jacobiano da transformação das coordenadas e depois encontrar o seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar das coordenadas esféricas (rho, phi, theta) para as coordenadas cartesianas (x, y, z). As fórmulas são:
x = rho sin phi cos theta
y = rho sin phi sin theta
z = rho cos phi
Para encontrar o Jacobiano, precisamos construir a matriz das derivadas parciais dessas funções em relação a rho, phi e theta.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de x, y e z em relação a rho, phi e theta:
partial xpartial rho = sin phi cos theta partial xpartial phi = rho cos phi cos theta partial xpartial theta = -rho sin phi sin theta
partial ypartial rho = sin phi sin theta partial ypartial phi = rho cos phi sin theta partial ypartial theta = rho sin phi cos theta
partial zpartial rho = cos phi partial zpartial phi = -rho sin phi partial zpartial theta = 0
Agora, montamos a matriz Jacobiana:
J = sin phi cos theta & rho cos phi cos theta & -rho sin phi sin theta sin phi sin theta & rho cos phi sin theta & rho sin phi cos theta cos phi & -rho sin phi & 0

Passo 4

Para encontrar o determinante dessa matriz, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Calculando o determinante:
|J| = rho^2 sin phi (cos^2 theta + sin^2 theta) = rho^2 sin phi (1) = rho^2 sin phi

Resposta

O valor absoluto do determinante Jacobiano é | J(rho, phi, theta) | = rho^2 sin phi .

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