A) (Valor 1.5) Determinar o ponto, que pertence ao plano de equação x+y+z=9, que fica mais próximo da origem.

Passo 1

Vamos lá! Temos que achar o ponto no plano cuja equação é x + y + z = 9 que está mais perto da origem, que é o ponto (0, 0, 0) . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre pontos e projeção de um ponto em um plano.

Passo 2

Primeiro, lembremos como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A fórmula é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Queremos minimizar essa distância entre a origem (0, 0, 0) e um ponto qualquer (x, y, z) que está no plano x + y + z = 9 .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar a ideia de projeção. A projeção da origem no plano será exatamente o ponto mais próximo dela no plano. A fórmula para a projeção de um ponto P(x0, y0, z0) no plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
Projeção = P - Ax0 + By0 + Cz0 + DA^2 + B^2 + C^2 cdot (A, B, C) çã
No nosso caso, a equação do plano x + y + z = 9 pode ser reescrita como x + y + z - 9 = 0 . Assim, A = 1 , B = 1 , C = 1 e D = -9 . O ponto P é a origem (0, 0, 0) .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da projeção:
Projeção = (0, 0, 0) - 1 cdot 0 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 - 91^2 + 1^2 + 1^2 cdot (1, 1, 1) çã
Simplificando o numerador e o denominador:
Projeção = (0, 0, 0) - -93 cdot (1, 1, 1) çã
Projeção = (0, 0, 0) + 3 cdot (1, 1, 1) çã

Passo 5

Agora, multiplicamos o escalar 3 pelos componentes do vetor (1, 1, 1) :
Projeção = (0 + 3 cdot 1, 0 + 3 cdot 1, 0 + 3 cdot 1) çã
Projeção = (3, 3, 3) çã

Resposta

O ponto no plano x + y + z = 9 que está mais próximo da origem é (3, , 3, , 3) .

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