A) (Valor 1.5) Determinar o ponto, que pertence ao plano de equação
, que fica mais próximo da origem.
Passo 1
Vamos lá! Temos que achar o ponto no plano cuja equação é
que está mais perto da origem, que é o ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre pontos e projeção de um ponto em um plano.
Passo 2
Primeiro, lembremos como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A fórmula é:
Queremos minimizar essa distância entre a origem
e um ponto qualquer
que está no plano
.
Passo 3
Para facilitar, vamos usar a ideia de projeção. A projeção da origem no plano será exatamente o ponto mais próximo dela no plano. A fórmula para a projeção de um ponto
no plano
é:
No nosso caso, a equação do plano
pode ser reescrita como
. Assim,
,
,
e
. O ponto
é a origem
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula da projeção:
Simplificando o numerador e o denominador:
Passo 5
Agora, multiplicamos o escalar 3 pelos componentes do vetor
:
Resposta
O ponto no plano
que está mais próximo da origem é
.