Classifique as seguintes integrais como convergentes ou divergentes.
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{3}}\,dx
como convergente ou divergente. Há singularidade em x=0, então vamos tratar via limite de uma integral definida e usar antiderivada de potências.

Passo 2

Definimos
\int_{0}^{1}x^{-3}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{\varepsilon}^{1}x^{-3}\,dx.
Calculando a antiderivada de x^{-3},
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2}+C,
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\int_{\varepsilon}^{1}x^{-3}\,dx =\left[\frac{x^{-2}}{-2}\right]_{\varepsilon}^{1} =-\frac{1}{2}\bigl(1 - \varepsilon^{-2}\bigr) =-\frac12 + \frac{1}{2}\,\varepsilon^{-2}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando \varepsilon\to0^{+}:
-\frac12 + \frac{1}{2}\,\varepsilon^{-2} \;\longrightarrow\; +\infty.
Como o valor da integral tende a +\infty, ela não se estabiliza num número finito.

Resposta

A integral é divergente.

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