Resolva y^{\prime}=\frac{y^{2}}{x y+\left(x y^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x\,y + (x\,y^2)^{2/3}}.
O conteúdo central aqui é reconhecer uma forma que permita separar variáveis por meio da substituição adequada. Vamos precisar usar álgebra de potências e a técnica de troca y(x)=x\,u(x)^3.

Passo 2

Reescrevemos o denominador para ver potências em x e y:
x\,y + (x\,y^2)^{2/3} = x\,y + x^{2/3}y^{4/3} = x^{2/3}y^{4/3}\Bigl(x^{1/3}y^{-1/3}+1\Bigr).
Então
\frac{dy}{dx} =\frac{y^2}{x^{2/3}y^{4/3}\bigl(x^{1/3}y^{-1/3}+1\bigr)} =\frac{y^{2-4/3}}{x^{2/3}}\cdot\frac{1}{1+(x/y)^{1/3}} =\frac{(y/x)^{2/3}}{1+(x/y)^{1/3}}.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \bigl(y/x\bigr)^{1/3}, \quad\text{ou seja}\quad y = x\,u^3.
Logo
\frac{dy}{dx} = u^3 + x\cdot3u^2\frac{du}{dx},
enquanto a parte direita vira
\frac{(y/x)^{2/3}}{1+(x/y)^{1/3}} =\frac{u^2}{1+1/u} =\frac{u^3}{u+1}.

Passo 4

Igualando as duas expressões de \tfrac{dy}{dx}:
u^3 +3x\,u^2\frac{du}{dx} = \frac{u^3}{u+1} \quad\Longrightarrow\quad 3x\,u^2\frac{du}{dx} = \frac{u^3}{u+1}-u^3 = -\frac{u^4}{u+1}.
Daí
\frac{du}{dx} = -\frac{u^4}{3x\,u^2(u+1)} = -\frac{u^2}{3x(u+1)},
ou ainda
\frac{u+1}{u^2}\,du = -\frac{1}{3}\,\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(u^{-1}+u^{-2}\Bigr)\,du = \int -\tfrac13\,\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln|u| - \frac{1}{u} = -\frac{1}{3}\ln|x| + C.
Reorganizando,
\ln\bigl(u\,x^{1/3}\bigr) - \frac{1}{u} = C \quad\Longrightarrow\quad u\,x^{1/3} = K\,e^{1/u},
onde K=e^C.

Passo 6

Voltando a y: como u=(y/x)^{1/3}, temos
u\,x^{1/3} = y^{1/3}.
E 1/u=(x/y)^{1/3}. Logo a solução geral em forma implícita é
y^{1/3} \exp\!\bigl(- (x/y)^{1/3}\bigr) = K,
com K constante arbitrária.

Resposta

A solução geral vem dada implicitamente por
y^{1/3} \,e^{-(x/y)^{1/3}} = K,
onde K é constante de integração.

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