Classifique as seguintes matrizes, dizendo se são simétricas, anti-simétricas, hermiteanas, anti-hermiteanas ou unitárias.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a matriz
A = 0 & 1 & 4 -1 & 0 & -1 -4 & 1 & 0
segundo as seguintes propriedades:
– simétrica: A^T = A
– anti-simétrica: A^T = -A
– hermiteana: A^dag>=r = A
– anti-hermiteana: A^dag>=r = -A
– unitária: A^dag>=r A = I
Como A é real, vale A^dag>=r = A^T.
Passo 2
Calculemos a transposta
A^T = 0 & -1 & -4 1 & 0 & 1 4 & -1 & 0
Comparando com A e com -A:
-,A = 0 & -1 & -4 1 & 0 & 1 4 & -1 & 0 = A^T
Passo 3
Vimos que A^T = -A, ou seja, A é anti-simétrica. Como em parte real A^dag>=r=A^T, isso também implica que A é anti-hermiteana. Não é simétrica (não vale A^T=A), não é hermiteana (não vale A^dag>=r=A) e tampouco é unitária (não satisfaz A^dag>=r A=I).
Resposta
A matriz é anti-simétrica (e, em termos complexos, anti-hermiteana).