5 Sejam E um espaço vetorial real, B=v1, v2, ldots, vn uma base de E e alpha1, alpha2, ldots, alphan in R não todos iguais a zero. Prove que o conjunto dos vetores v=x1 v1+x2 v2+ldots+xn vn tais que alpha1 x1+alpha2 x2+ldots+alphan xn=0 é um subespaço vetorial de E de dimensão n-1.

Passo 1

O enunciado diz que E é um espaço vetorial real de dimensão n com base B=v1,dots,vn e dados escalares alpha1,dots,alphan, nem todos zero. Queremos mostrar que
S=l,x=x1v1+cdots+xnvn mid alpha1x1+cdots+alphanxn=0r
é um subespaço de E e que dim S=n-1. Para isso, vamos usar o fato de que S é o núcleo (kernel) de um funcional linear não nulo e aplicar o Teorema da Dimensão (Teorema da Núcleo e Imagem).

Passo 2

Definimos o funcional linear
f:ElongrightarrowR, fl(x1v1+cdots+xnvnr)=alpha1x1+cdots+alphanxn
(a) Para ver que f é bem definido, note que cada vetor de E tem representação única na base B.
(b) Para ver que f é linear, tomemos x=sum xi vi e y=sum yi vi e lambdainR. Então
f(x+y) =fl(sum(xi+yi)vir) =sumalphai(xi+yi) =sumalphai xi+sumalphai yi =f(x)+f(y),
f(lambda x) =fl(sum(lambda xi)vir) =sumalphai(lambda xi) =lambdasumalphai xi =lambda f(x)

Passo 3

Observe que
ker f =,xinEmid f(x)=0 =l,sum xi vi;|;alpha1x1+cdots+alphanxn=0r
é exatamente S. Como o núcleo de um funcional linear é sempre um subespaço, concluímos que S é subespaço de E.

Passo 4

Como nem todos os alphai são zero, existe algum k tal que alphakneq0. Então f(vk)=alphakneq0, logo f não é o funcional zero. Portanto diml(Im,fr)=1. Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem), temos
dimE =dim(ker f)+dim(Im,f) Longrightarrow n =dim S+1 Longrightarrow dim S=n-1

Resposta

O conjunto S é um subespaço vetorial de E e dim S=n-1.

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