5 Sejam um espaço vetorial real, uma base de e não todos iguais a zero. Prove que o conjunto dos vetores tais que é um subespaço vetorial de de dimensão .
Passo 1
O enunciado diz que é um espaço vetorial real de dimensão com base e dados escalares , nem todos zero. Queremos mostrar que
é um subespaço de e que . Para isso, vamos usar o fato de que é o núcleo (kernel) de um funcional linear não nulo e aplicar o Teorema da Dimensão (Teorema da Núcleo e Imagem).
Passo 2
Definimos o funcional linear
(a) Para ver que é bem definido, note que cada vetor de tem representação única na base .
(b) Para ver que é linear, tomemos e e . Então
Passo 3
Observe que
é exatamente S. Como o núcleo de um funcional linear é sempre um subespaço, concluímos que S é subespaço de E.
Passo 4
Como nem todos os alphai são zero, existe algum k tal que alphakneq0. Então f(vk)=alphakneq0, logo f não é o funcional zero. Portanto diml(Im,fr)=1. Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem), temos
dimE =dim(ker f)+dim(Im,f) Longrightarrow n =dim S+1 Longrightarrow dim S=n-1
Resposta
O conjunto S é um subespaço vetorial de E e dim S=n-1.