7 Sejam B1:=v1, v2, v3 e B2=w1, w2, w3 duas bases ordenadas de R^3 tais que :
& w1=v1+v2 & w2=2 v1+v2+v3 & w3=v1+2 v2+v3
Determine as matrizes de mudança de base [I]B1^B2 e[I]B2^B1

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas de R^3,
B1=v1,v2,v3 e B2=w1,w2,w3,
com as relações
w1=v1+v2, w2=2v1+v2+v3, w3=v1+2v2+v3
Queremos as matrizes de mudança de base
[I]B2^B1 e [I]B1^B2.

Passo 2

Por definição, [I]B2^B1 é a matriz que leva coordenadas em B2 em coordenadas em B1.
Suas colunas são justamente as coordenadas de w1,w2,w3 na base B1.

Passo 3

Das expressões dadas temos
w1=1cdot v1+1cdot v2+0cdot v3, w2=2cdot v1+1cdot v2+1cdot v3, w3=1cdot v1+2cdot v2+1cdot v3
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[I]B2^B1 = 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1

Passo 4

Para obter [I]B1^B2 basta inverter essa matriz.
O determinante é -2 e, usando cofator/adjugada, chega-se a
l([I]B2^B1r)^-1 = tfrac12 & tfrac12 & -tfrac32 tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12

Resposta

[I]B2^B1 = 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 , [I]B1^B2 = tfrac12 & tfrac12 & -tfrac32 tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12

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