Classifique as seguintes matrizes, dizendo se são simétricas, anti-simétricas, hermiteanas, anti-hermiteanas ou unitárias.
[ccc1 & i & 2 -i & 0 & 1 2 & 1 & 3 i]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & i & 2 -i & 0 & 1 2 & 1 & 3i
é simétrica l(A^T=Ar), anti-simétrica l(A^T=-Ar), hermiteana l(A^dag>=r=Ar), anti-hermiteana l(A^dag>=r=-Ar) ou unitária l(A^dag>=r A=Ir). Vamos calcular A^T, A^dag>=r e A^dag>=r A e comparar com as condições acima.

Passo 2

Calculemos a transposta
A^T = 1 & -i & 2 i & 0 & 1 2 & 1 & 3i
Comparando com A, vemos que a entrada (1,2) de A^T é -i, enquanto em A é i. Logo
A^T neq A e A^T neq -A,
então A não é simétrica nem anti-simétrica.

Passo 3

Calculemos agora o transposto conjugado (hermítico)
A^dag>=r = A^T = 1 & -i & 2 i & 0 & 1 2 & 1 & 3i = 1 & i & 2 -,i & 0 & 1 2 & 1 & -,3i
Comparando com A, o elemento (3,3) difere ( -3i em vez de 3i), então
A^dag>=r neq A e A^dag>=r neq -A,
ou seja, A não é nem hermiteana nem anti-hermiteana.

Passo 4

Por fim, testamos a unitariedade, isto é, se
A^dag>=r A = I
Sem precisar calcular todas as entradas, basta ver que, por exemplo, o primeiro elemento da diagonal de A^dag>=r A é
(A^dag>=r A)11 =1cdot1 + icdot(-i) + 2cdot2 =1 + (icdot -i) +4 =1 +1 +4 =6neq1
Logo A^dag>=r A neq I e A não é unitária.

Resposta

A matriz não é simétrica, nem anti-simétrica, nem hermiteana, nem anti-hermiteana e nem unitária.

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