Classifique as seguintes matrizes, dizendo se são simétricas, anti-simétricas, hermiteanas, anti-hermiteanas ou unitárias.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos a matriz
A = 1 & 2 & -1 2 & 3 & 7 -1 & 7 & 4
segundo as propriedades de matrizes simétricas (A^T = A), anti-simétricas (A^T = -A), hermitianas (A^* = A), anti-hermitianas (A^* = -A) ou unitárias (A,A^* = I). Vamos usar operações de transposta e conjugado-transposta para testar cada condição.
Passo 2
Calculamos a transposta de A, trocando linhas por colunas:
A^T = 1 & 2 & -1 2 & 3 & 7 -1 & 7 & 4
Comparando com A, vemos que
A^T = A,
logo A é simétrica.
Passo 3
Para ser anti-simétrica, precisaríamos de
A^T = -A
Mas A^T = Aneq -A (por exemplo, o elemento (1,1) é 1neq -1). Logo A não é anti-simétrica.
Passo 4
Como A é real, sua conjugada-transposta A^* coincide com A^T. Já vimos que A^T=A, portanto
A^* = A,
o que significa que A é também hermitiana.
Passo 5
Para ser anti-hermitiana seria preciso A^*=-A, o que não ocorre. Além disso, para ser unitária precisaríamos de
A,A^* = I,
o que é falso pois A não satisfaz A^2=I.
Resposta
A matriz é simétrica (e, por ser real e simétrica, também hermiteana). Ela não é anti-simétrica, nem anti-hermiteana e tampouco unitária.