Classifique as seguintes proposições quanto a tautologia, contradição ou contigência.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a proposição quanto a tautologia, contradição ou contingência. A proposição dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula envolve apenas a variável proposicional
. - É pedido apenas classificar se a fórmula é uma tautologia (sempre verdadeira), contradição (sempre falsa) ou contingência (verdadeira para algumas valuationes e falsa para outras).
Passo 2
Vou lembrar os conceitos essenciais (bem devagar, como se estivéssemos no quadro juntos):
- Uma fórmula é tautologia se for verdadeira para todas as atribuições de verdade das variáveis proposicionais.
- É contradição se for falsa para todas as atribuições.
- É contingência se for verdadeira para algumas atribuições e falsa para outras.
Métodos simples para decidir: (i) montar a tabela verdade; (ii) usar equivalências lógicas básicas. Aqui, por ser uma fórmula com uma só variável
, tanto a tabela verdade quanto as equivalências funcionam bem. Vou usar as duas abordagens (explicar as regras e depois checar com tabela).
Passo 3
Relembrando a definição lógica do condicional e uma equivalência útil:
- Por definição,
é equivalente a . Ou seja,
Explique rapidinho: a implicação só é falsa quando
é verdadeira e
é falsa; nas demais situações ela é verdadeira. A forma
codifica exatamente isso (se
for falso,
é verdadeiro; se
for verdadeiro, então o valor da implicação depende de
).
Agora aplico essa equivalência às duas partes da fórmula:
- Para a primeira parte,
A expressão
é a famosa lei do terceiro excluído (ou lei da exclução do meio): para qualquer
, ou
é verdadeiro ou
é verdadeiro. Logo
é sempre verdadeira; ou seja,
é uma tautologia.
- Para a segunda parte,
Explicando: usando
. Então
é logicamente equivalente a
(ou seja, é verdadeiro quando
é falso e falso quando
é verdadeiro).
Passo 4
Substituindo as equivalências na fórmula original obtemos:
Seja
uma fórmula sempre verdadeira. Para qualquer fórmula
vale
é sempre
(porque
é verdadeiro independentemente de
). Portanto a disjunção entre uma tautologia e qualquer outra coisa resulta em uma tautologia. Logo a fórmula original é uma tautologia.
Passo 5
Só para confirmar sem usar equivalências, confira com a tabela verdade (tem só duas linhas, porque há só
):
-
Se
é verdadeira ( ): -
(implicação de para é ); -
; - Disjunção:
.
-
-
Se
é falsa ( ): -
(implicação com antecedente falso é verdadeira); -
; - Disjunção:
.
-
Em ambas as valuations a fórmula vale
. Isso confirma que é tautologia.
Resposta
Tautologia.