Classifique as seguintes proposições quanto a tautologia, contradição ou contigência.
(p \longrightarrow p) \vee(p \longrightarrow \sim p)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a proposição quanto a tautologia, contradição ou contingência. A proposição dada é
(p \to p)\vee (p \to \neg p).
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula envolve apenas a variável proposicional p.
  • É pedido apenas classificar se a fórmula é uma tautologia (sempre verdadeira), contradição (sempre falsa) ou contingência (verdadeira para algumas valuationes e falsa para outras).

Passo 2

Vou lembrar os conceitos essenciais (bem devagar, como se estivéssemos no quadro juntos):
  • Uma fórmula é tautologia se for verdadeira para todas as atribuições de verdade das variáveis proposicionais.
  • É contradição se for falsa para todas as atribuições.
  • É contingência se for verdadeira para algumas atribuições e falsa para outras.
Métodos simples para decidir: (i) montar a tabela verdade; (ii) usar equivalências lógicas básicas. Aqui, por ser uma fórmula com uma só variável p, tanto a tabela verdade quanto as equivalências funcionam bem. Vou usar as duas abordagens (explicar as regras e depois checar com tabela).

Passo 3

Relembrando a definição lógica do condicional e uma equivalência útil:
  • Por definição, p \to q é equivalente a \neg p \vee q. Ou seja,
p\to q \equiv \neg p \vee q.
Explique rapidinho: a implicação só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa; nas demais situações ela é verdadeira. A forma \neg p \vee q codifica exatamente isso (se p for falso, \neg p é verdadeiro; se p for verdadeiro, então o valor da implicação depende de q).
Agora aplico essa equivalência às duas partes da fórmula:
  • Para a primeira parte,
p\to p \equiv \neg p \vee p.
A expressão \neg p \vee p é a famosa lei do terceiro excluído (ou lei da exclução do meio): para qualquer p, ou p é verdadeiro ou \neg p é verdadeiro. Logo \neg p \vee p é sempre verdadeira; ou seja, p\to p é uma tautologia.
  • Para a segunda parte,
p\to \neg p \equiv \neg p \vee \neg p \equiv \neg p.
Explicando: usando \neg p \vee \neg p = \neg p. Então p\to\neg p é logicamente equivalente a \neg p (ou seja, é verdadeiro quando p é falso e falso quando p é verdadeiro).

Passo 4

Substituindo as equivalências na fórmula original obtemos:
(p\to p)\vee (p\to \neg p) \equiv (\text{tautologia}) \vee (\neg p).
Seja T uma fórmula sempre verdadeira. Para qualquer fórmula B vale T \vee B é sempre T (porque T\vee B é verdadeiro independentemente de B). Portanto a disjunção entre uma tautologia e qualquer outra coisa resulta em uma tautologia. Logo a fórmula original é uma tautologia.

Passo 5

Só para confirmar sem usar equivalências, confira com a tabela verdade (tem só duas linhas, porque há só p):
  • Se p é verdadeira ( p=T):
    • p\to p = T (implicação de T para T é T);
    • p\to\neg p = T \to F = F;
    • Disjunção: T \vee F = T.
  • Se p é falsa ( p=F):
    • p\to p = F \to F = T (implicação com antecedente falso é verdadeira);
    • p\to\neg p = F \to T = T;
    • Disjunção: T \vee T = T.
Em ambas as valuations a fórmula vale T. Isso confirma que é tautologia.

Resposta

Tautologia.

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