Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{2}}{n^{3}+4}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}
e pede que a classifiquemos como convergente ou divergente (e, implicitamente, se é absoluta ou condicionalmente convergente). Informações importantes fornecidas:
  • O fator (-1)^{n+1} torna os sinais dos termos alternantes.
  • Os termos de módulo são b_n=\dfrac{n^{2}}{n^{3}+4}, que são positivos para todo n\ge1.
    A pergunta é: a série converge? Se sim, converge absolutamente ou apenas condicionalmente?

Passo 2

Verificar a condição necessária para convergência: os termos devem tender a zero. Calcular \lim_{n\to\infty} b_n.
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}
Dividindo numerador e denominador por n^{3},
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}/n^{3}}{(n^{3}+4)/n^{3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1+4/n^{3}}=0.
Portanto \lim_{n\to\infty} b_n=0. Isso satisfaz a condição necessária (mas não suficiente) para convergência de uma série.

Passo 3

Verificar se a sequência (b_n) é monotonicamente decrescente a partir de algum índice (necessário para aplicar o teste de séries alternantes / teste de Leibniz). Considere a função contínua
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}+4},\qquad x>0.
Calcule a derivada para checar monotonicidade:
f'(x)=\frac{2x(x^{3}+4)-x^{2}\cdot 3x^{2}}{(x^{3}+4)^{2}} =\frac{2x^{4}+8x-3x^{4}}{(x^{3}+4)^{2}} =\frac{-x^{4}+8x}{(x^{3}+4)^{2}}.
Fatorando x,
f'(x)=\frac{x(-x^{3}+8)}{(x^{3}+4)^{2}}.
Para x>2 temos x^{3}>8, logo -x^{3}+8<0 e assim f'(x)<0. Portanto f é decrescente para x>2. Isso implica que a sequência b_n=f(n) é decrescente para todo n\ge3. Ter monotonicidade a partir de um certo N é suficiente para os testes que vamos usar.

Passo 4

Aplicar o teste da série alternante (teste de Leibniz). Lembrete do teste (explicado): se (b_n) é uma sequência positiva, monotônica não crescente a partir de algum N e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série \sum (-1)^{n} b_n converge. Aqui temos:
  • b_n>0 para todo n,
  • b_n é decrescente para n\ge3 (ver Passo 3),
  • \lim_{n\to\infty} b_n=0 (ver Passo 2).
    Logo a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}
converge.

Passo 5

Verificar se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Considere a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}=\sum_{n=1}^{\infty} b_n.
Comparar b_n com 1/n (série harmônica). Use o teste da comparação limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}/(n^{3}+4)}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+4}=1.
Como o limite é um número positivo finito diferente de zero e \sum 1/n diverge (série harmônica), segue que \sum b_n também diverge. Portanto a série não converge absolutamente.

Passo 6

Conclusão combinando os resultados: a série alternante converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge). A classificação correta é: convergência condicional.

Resposta

Converge condicionalmente.

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