e pede que a classifiquemos como convergente ou divergente (e, implicitamente, se é absoluta ou condicionalmente convergente). Informações importantes fornecidas:
O fator (-1)^{n+1} torna os sinais dos termos alternantes.
Os termos de módulo são b_n=\dfrac{n^{2}}{n^{3}+4}, que são positivos para todo n\ge1.
A pergunta é: a série converge? Se sim, converge absolutamente ou apenas condicionalmente?
Passo 2
Verificar a condição necessária para convergência: os termos devem tender a zero. Calcular \lim_{n\to\infty} b_n.
Portanto \lim_{n\to\infty} b_n=0. Isso satisfaz a condição necessária (mas não suficiente) para convergência de uma série.
Passo 3
Verificar se a sequência (b_n) é monotonicamente decrescente a partir de algum índice (necessário para aplicar o teste de séries alternantes / teste de Leibniz). Considere a função contínua
Para x>2 temos x^{3}>8, logo -x^{3}+8<0 e assim f'(x)<0. Portanto f é decrescente para x>2. Isso implica que a sequência b_n=f(n) é decrescente para todo n\ge3. Ter monotonicidade a partir de um certo N é suficiente para os testes que vamos usar.
Passo 4
Aplicar o teste da série alternante (teste de Leibniz). Lembrete do teste (explicado): se (b_n) é uma sequência positiva, monotônica não crescente a partir de algum N e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série \sum (-1)^{n} b_n converge. Aqui temos:
b_n>0 para todo n,
b_n é decrescente para n\ge3 (ver Passo 3),
\lim_{n\to\infty} b_n=0 (ver Passo 2).
Logo a série alternante
Como o limite é um número positivo finito diferente de zero e \sum 1/n diverge (série harmônica), segue que \sum b_n também diverge. Portanto a série não converge absolutamente.
Passo 6
Conclusão combinando os resultados: a série alternante converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge). A classificação correta é: convergência condicional.