Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots \cdots(2 n)}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar como convergente ou divergente a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!}.
As informações relevantes são apenas os termos gerais da série, ou seja, o numerador é o produto dos primeiros n números pares 2,4,6,\dots,2n e o denominador é n!. A tarefa é decidir se a soma infinita desses termos converge ou diverge e justificar a resposta.

Passo 2

Vamos simplificar o numerador para escrever o termo geral de forma mais clara. Observe que
2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=\prod_{k=1}^{n} (2k).
Factorizando cada fator 2k em 2 vez k obtemos
\prod_{k=1}^{n} (2k)=\left(\prod_{k=1}^{n} 2\right)\left(\prod_{k=1}^{n} k\right)=2^{n}\,n!.
Essa é uma identidade padrão: o produto dos n primeiros pares é 2^{n} n!.

Passo 3

Substituindo essa simplificação no termo geral da série, o n-ésimo termo fica
a_{n}=\frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!}=\frac{2^{n}\,n!}{n!}=2^{n}.
Portanto a série original é exatamente
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n}.

Passo 4

Um teste básico e muito útil: se uma série \sum a_{n} converge, então necessariamente a_{n}\to 0 quando n\to\infty. Esse é o chamado teste da condição necessária para convergência (teste do termo geral). Aqui temos
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} 2^{n}=+\infty\neq 0.
Como os termos não tendem a zero (na verdade crescem para infinito), a série não pode convergir. Logo ela diverge.

Passo 5

Como verificação alternativa (opcional), reconhecemos \sum_{n=1}^{\infty}2^{n} como uma série geométrica com razão r=2. Uma série geométrica \sum r^{n} converge somente se |r|<1; quando |r|\ge 1 diverge. Aqui |r|=2>1, então a série diverge. Também o teste da razão dá
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}}{2^{n}}=2>1,
o que confirma divergência.

Resposta

Divergente

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