Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para classificar como convergente ou divergente a série
As informações relevantes são apenas os termos gerais da série, ou seja, o numerador é o produto dos primeiros
números pares
e o denominador é
. A tarefa é decidir se a soma infinita desses termos converge ou diverge e justificar a resposta.
Passo 2
Vamos simplificar o numerador para escrever o termo geral de forma mais clara. Observe que
Factorizando cada fator
em
vez
obtemos
Essa é uma identidade padrão: o produto dos
primeiros pares é
.
Passo 3
Substituindo essa simplificação no termo geral da série, o
-ésimo termo fica
Portanto a série original é exatamente
Passo 4
Um teste básico e muito útil: se uma série
converge, então necessariamente
quando
. Esse é o chamado teste da condição necessária para convergência (teste do termo geral). Aqui temos
Como os termos não tendem a zero (na verdade crescem para infinito), a série não pode convergir. Logo ela diverge.
Passo 5
Como verificação alternativa (opcional), reconhecemos
como uma série geométrica com razão
. Uma série geométrica
converge somente se
; quando
diverge. Aqui
, então a série diverge. Também o teste da razão dá
o que confirma divergência.
Resposta
Divergente