Classifique os seguintes sistema. Justifique as respostas.
y(t)=\int_{-\infty}{ }^{t} e{t{2}-\tau^{2}} u(\tau) d \tau
y(t)=\int_{-\infty}{ }^{t} e{t{2}-\tau^{2}} u(\tau) d \tau
Passo 1
O enunciado define um sistema contínuo causal pelo operador
Queremos classificar esse sistema quanto a: linearidade, invariância temporal, causalidade, memória e estabilidade BIBO. Para isso usaremos as definições padrão de cada propriedade.
Passo 2
Verificação de linearidade. Suponha duas entradas
e
com respectivos outputs
e
:
Para a combinação linear
, o output é
Logo, o sistema obedece superposição e homogeneidade, portanto é linear.
Passo 3
Verificação de invariância temporal. Seja
. O output correspondente é
Por outro lado, a saída deslocada de
seria
Essas duas expressões não coincidem em geral, pois o expoente depende de
de forma diferente em cada caso. Assim, o sistema é não invariável no tempo (time-varying).
Passo 4
Causalidade e memória. A saída
só usa valores de
para
, ou seja, não depende do futuro de
, logo é causal. Como envolve integração sobre todo o passado (não usa apenas
), não é memória-zero, isto é, possui memória.
Passo 5
Estabilidade BIBO. Se
para todo
, então
O termo
cresce sem limite quando
, e
tende a
. Portanto
não fica uniformemente limitado para todas as
, e o sistema é não BIBO estável.
Resposta
O sistema é
linear,
não invariável no tempo,
causal,
com memória,
e não BIBO estável.
linear,
não invariável no tempo,
causal,
com memória,
e não BIBO estável.