Classifique os seguintes sistema. Justifique as respostas.
y(t)=\int_{-\infty}{ }^{t} e{t{2}-\tau^{2}} u(\tau) d \tau

Passo 1

O enunciado define um sistema contínuo causal pelo operador
y(t)=\int_{-\infty}^{t} e^{\,t^{2}-\tau^{2}}\;u(\tau)\,d\tau.
Queremos classificar esse sistema quanto a: linearidade, invariância temporal, causalidade, memória e estabilidade BIBO. Para isso usaremos as definições padrão de cada propriedade.

Passo 2

Verificação de linearidade. Suponha duas entradas u_1 e u_2 com respectivos outputs y_1 e y_2:
y_i(t)=\int_{-\infty}^{t} e^{t^2-\tau^2}\,u_i(\tau)\,d\tau,\quad i=1,2.
Para a combinação linear a\,u_1+b\,u_2, o output é
\int_{-\infty}^{t} e^{t^2-\tau^2}\bigl(a\,u_1(\tau)+b\,u_2(\tau)\bigr)\,d\tau = a\,y_1(t)+b\,y_2(t).
Logo, o sistema obedece superposição e homogeneidade, portanto é linear.

Passo 3

Verificação de invariância temporal. Seja u_{\!t_0}(t)=u(t-t_0). O output correspondente é
y_{\!t_0}(t) =\int_{-\infty}^{t} e^{t^2-\tau^2}\,u(\tau - t_0)\,d\tau.
Por outro lado, a saída deslocada de y seria
y(t-t_0) =\int_{-\infty}^{t-t_0} e^{(t-t_0)^2-\tau^2}\,u(\tau)\,d\tau.
Essas duas expressões não coincidem em geral, pois o expoente depende de t de forma diferente em cada caso. Assim, o sistema é não invariável no tempo (time-varying).

Passo 4

Causalidade e memória. A saída y(t) só usa valores de u(\tau) para \tau\le t, ou seja, não depende do futuro de u, logo é causal. Como envolve integração sobre todo o passado (não usa apenas u(t)), não é memória-zero, isto é, possui memória.

Passo 5

Estabilidade BIBO. Se |u(\tau)|\le M para todo \tau, então
|y(t)|\le M\int_{-\infty}^{t} e^{t^2-\tau^2}\,d\tau = M\,e^{t^2}\int_{-\infty}^{t} e^{-\tau^2}\,d\tau.
O termo e^{t^2} cresce sem limite quando t\to\infty, e \int_{-\infty}^{t} e^{-\tau^2}d\tau tende a \tfrac{\sqrt\pi}{2}. Portanto |y(t)| não fica uniformemente limitado para todas as t, e o sistema é não BIBO estável.

Resposta

O sistema é
linear,
não invariável no tempo,
causal,
com memória,
e não BIBO estável.

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