Classifique os seguintes sistema. Justifique as respostas.
y(t)=\int_{-\infty}{ }^{t} e{(t-\tau){2}} u(\tau) d \tau

Passo 1

O enunciado define o sistema
y(t)=\int_{-\infty}^{t}e^{(t-\tau)^{2}}\,u(\tau)\,d\tau
e pede para classificá-lo em termos de linearidade, invariança temporal, causalidade, memória e estabilidade BIBO.

Passo 2

Verificamos a linearidade aplicando superposição. Para duas entradas u_{1}(t) e u_{2}(t) e escalares a,b, o sistema dá
y(t)=\int_{-\infty}^{t}e^{(t-\tau)^{2}}\bigl(a\,u_{1}(\tau)+b\,u_{2}(\tau)\bigr)\,d\tau
por linearidade da integral isso se separa em
a\int_{-\infty}^{t}e^{(t-\tau)^{2}}u_{1}(\tau)\,d\tau + b\int_{-\infty}^{t}e^{(t-\tau)^{2}}u_{2}(\tau)\,d\tau = a\,y_{1}(t)+b\,y_{2}(t).
Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Testamos invariança no tempo. Se deslocarmos a entrada em t_{0}, isto é, definirmos u'(t)=u(t-t_{0}), a saída é
y'(t)=\int_{-\infty}^{t}e^{(t-\tau)^{2}}\,u(\tau-t_{0})\,d\tau.
Fazendo a mudança de variável v=\tau-t_{0}, obtemos
y'(t) =\int_{-\infty}^{\,t-t_{0}}e^{\bigl(t-(v+t_{0})\bigr)^{2}}\,u(v)\,dv =\int_{-\infty}^{\,t-t_{0}}e^{\bigl((t-t_{0})-v\bigr)^{2}}\,u(v)\,dv =y(t-t_{0}).
Portanto o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Para checar causalidade, note que y(t) envolve apenas valores de u(\tau) para \tau\le t. Não há dependência de valores futuros \tau>t. Logo é um sistema causal.

Passo 5

O sistema não é sem memória (memoryless), pois y(t) depende de todos os valores passados u(\tau), \tau<t. Então ele possui memória.

Passo 6

Testamos a estabilidade BIBO. Se \lVert u(t)\rVert_{\infty}\le M<\infty, então
\lvert y(t)\rvert \le \int_{-\infty}^{t}e^{(t-\tau)^{2}}\,\lvert u(\tau)\rvert\,d\tau \le M\int_{-\infty}^{t}e^{(t-\tau)^{2}}\,d\tau = M\int_{0}^{\infty}e^{s^{2}}\,ds.
Como \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{s^{2}}ds diverge, \lvert y(t)\rvert pode ficar infinito mesmo para u limitado. Logo o sistema é instável (não BIBO estável).

Resposta

O sistema é
linear,
invariante no tempo,
causal,
com memória
e instável (não BIBO estável).

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