Classifique os seguintes sistema. Justifique as respostas.
y(k-2)-\frac{5}{6} y(k-1)+\frac{1}{6} y(k)=u(k-1)+\frac{1}{2} u(k)
y(k-2)-\frac{5}{6} y(k-1)+\frac{1}{6} y(k)=u(k-1)+\frac{1}{2} u(k)
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema discreto definido pela equação de diferenças
Precisamos classificar esse sistema em termos de linearidade, invariança no tempo, causalidade, existência de memória (estático ou dinâmico), tipo de resposta (FIR ou IIR) e estabilidade BIBO.
Passo 2
Verificamos a linearidade. A equação é uma combinação linear de
e
, sem termos produto ou potência de
ou
. Logo, o sistema é linear, pois satisfaz superposição e homogeneidade.
Passo 3
Verificamos a invariança no tempo. Todos os coeficientes são constantes e não há dependência explícita de
fora de
e
. Portanto, deslocar a entrada em
desloca a saída em
sem alterar a forma da equação, ou seja, o sistema é invariante no tempo.
Passo 4
Para testar causalidade, escrevemos a equação resolvendo para
. Multiplicando tudo por 6:
e isolando
:
Aqui
depende apenas de
e
(presente e passado), sem dependência de
ou futuros. Logo, o sistema é causal.
Passo 5
Observamos que
depende de
e
, ou seja, depende de valores passados da saída. Isso significa que o sistema tem memória e, portanto, é um sistema dinâmico (não é estático).
Passo 6
Por ser um sistema recursivo (a saída aparece no lado direito em instantes anteriores), ele gera resposta a impulso infinita. Portanto, trata-se de um sistema IIR (Infinite Impulse Response), e não FIR.
Passo 7
Para verificar a estabilidade BIBO, analisamos a parte homogênea
cuja equação característica é
Como ambos os polos têm
, o impulso do sistema cresce sem limite, e o sistema é instável no sentido BIBO.
Resposta
O sistema é
– Linear
– Invariante no tempo
– Causal
– Dinâmico (com memória)
– IIR (recursivo)
– BIBO instável.
– Linear
– Invariante no tempo
– Causal
– Dinâmico (com memória)
– IIR (recursivo)
– BIBO instável.