Classifique os seguintes sistema. Justifique as respostas.
y(k-2)-\frac{5}{6} y(k-1)+\frac{1}{6} y(k)=u(k-1)+\frac{1}{2} u(k)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema discreto definido pela equação de diferenças
y(k-2) \;-\;\frac{5}{6}\,y(k-1)\;+\;\frac{1}{6}\,y(k) \;=\;u(k-1)\;+\;\frac{1}{2}\,u(k).
Precisamos classificar esse sistema em termos de linearidade, invariança no tempo, causalidade, existência de memória (estático ou dinâmico), tipo de resposta (FIR ou IIR) e estabilidade BIBO.

Passo 2

Verificamos a linearidade. A equação é uma combinação linear de y e u, sem termos produto ou potência de y ou u. Logo, o sistema é linear, pois satisfaz superposição e homogeneidade.

Passo 3

Verificamos a invariança no tempo. Todos os coeficientes são constantes e não há dependência explícita de k fora de y(k-n) e u(k-n). Portanto, deslocar a entrada em n_0 desloca a saída em n_0 sem alterar a forma da equação, ou seja, o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Para testar causalidade, escrevemos a equação resolvendo para y(k). Multiplicando tudo por 6:
6\,y(k-2)-5\,y(k-1)+y(k)=6\,u(k-1)+3\,u(k)
e isolando y(k):
y(k)=5\,y(k-1)-6\,y(k-2)+6\,u(k-1)+3\,u(k).
Aqui y(k) depende apenas de u(k) e u(k-1) (presente e passado), sem dependência de u(k+1) ou futuros. Logo, o sistema é causal.

Passo 5

Observamos que y(k) depende de y(k-1) e y(k-2), ou seja, depende de valores passados da saída. Isso significa que o sistema tem memória e, portanto, é um sistema dinâmico (não é estático).

Passo 6

Por ser um sistema recursivo (a saída aparece no lado direito em instantes anteriores), ele gera resposta a impulso infinita. Portanto, trata-se de um sistema IIR (Infinite Impulse Response), e não FIR.

Passo 7

Para verificar a estabilidade BIBO, analisamos a parte homogênea
y(k)-5\,y(k-1)+6\,y(k-2)=0
cuja equação característica é
r^2-5r+6=0\quad\Longrightarrow\quad r=2\;\text{ou}\;r=3.
Como ambos os polos têm |r|>1, o impulso do sistema cresce sem limite, e o sistema é instável no sentido BIBO.

Resposta

O sistema é
– Linear
– Invariante no tempo
– Causal
– Dinâmico (com memória)
– IIR (recursivo)
– BIBO instável.

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