Determine a transformada de Laplace dos sinais definidos nos itens a seguir para \mathrm{t} \geq .0.
u(t)=(t-1) e^{-3 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace do sinal
u(t) = (t - 1)\,e^{-3t},\quad t\ge0.
O conteúdo é a definição da transformada de Laplace e o uso das integrais padrão
\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-a t}dt e
\displaystyle \int_{0}^{\infty}t\,e^{-a t}dt.

Passo 2

Pela definição,
U(s)=\mathcal{L}\{u(t)\} =\int_{0}^{\infty}(t-1)\,e^{-3t}\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}(t-1)\,e^{-(s+3)t}\,dt.

Passo 3

Separe a integral em duas partes, usando a=s+3:
\int_{0}^{\infty}(t-1)e^{-a t}dt =\int_{0}^{\infty}t\,e^{-a t}dt -\int_{0}^{\infty}e^{-a t}dt.

Passo 4

Use as fórmulas conhecidas (válidas para \Re(a)>0):
\int_{0}^{\infty}e^{-a t}dt=\frac{1}{a}, \qquad \int_{0}^{\infty}t\,e^{-a t}dt=\frac{1}{a^{2}}.
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U(s) =\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{a} =\frac{1 - a}{a^{2}} =\frac{1 - (s+3)}{(s+3)^{2}} =\frac{-s -2}{(s+3)^{2}}.

Resposta

U(s) =\frac{1}{(s+3)^{2}}-\frac{1}{s+3} =-\frac{s+2}{(s+3)^{2}}, \quad \Re(s)>-3.

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