Determine a transformada de Laplace dos sinais definidos nos itens a seguir para \mathrm{t} \geq .0.
u(t)=2 t e^{-2 t} \operatorname{sen} 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
u(t)=2\,t\,e^{-2t}\sin(2t),\quad t\ge0.
O conteúdo aqui é a propriedade de diferenciação em s, que diz que
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}=-\frac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}\bigr].

Passo 2

Definimos
f(t)=2\,e^{-2t}\sin(2t).
Primeiro calculamos
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} =2\;\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin(2t)\}.
Pela tabela,
\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin(2t)\} =\frac{2}{(s+2)^{2}+4},
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F(s)=2\cdot\frac{2}{(s+2)^{2}+4} =\frac{4}{(s+2)^{2}+4}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de multiplicação por t:
\mathcal{L}\{u(t)\} =\mathcal{L}\{t\,f(t)\} =-\frac{d}{ds}\bigl[F(s)\bigr] =-\frac{d}{ds}\!\Bigl[\frac{4}{(s+2)^{2}+4}\Bigr].

Passo 4

Derivando
\frac{d}{ds}\!\Bigl[\frac{4}{(s+2)^{2}+4}\Bigr] =4\cdot\bigl(-1\bigr)\cdot\frac{2(s+2)}{\bigl((s+2)^{2}+4\bigr)^{2}} =-\frac{8(s+2)}{\bigl((s+2)^{2}+4\bigr)^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{u(t)\} = -\bigl(-\frac{8(s+2)}{((s+2)^{2}+4)^{2}}\bigr) =\frac{8(s+2)}{\bigl((s+2)^{2}+4\bigr)^{2}}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{2\,t\,e^{-2t}\sin(2t)\} =\frac{8\,(s+2)}{\bigl((s+2)^{2}+4\bigr)^{2}}.}

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