Classifique os seguintes sistemas com relação à linearidade, invariância no tempo, inversibilidade, estabilidade e causalidade:
Passo 1
O enunciado dá a relação entrada-saída
e pede a classificação do sistema quanto a:
- linearidade,
- invariância no tempo,
- inversibilidade,
- estabilidade (BIBO),
- causalidade.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A saída
é formada por duas partes: uma cópia de atrasada em unidades, , e outra cópia onde o tempo foi espelhado e deslocado, . - Não há mais dados (por ex., domínios ou restrições sobre
); vamos trabalhar com sinais de tempo contínuo genéricos.
Passo 2
Linearidade — definição e teste:
- Definição: um sistema
é linear se, para quaisquer sinais , e quaisquer escalares ,
- Aplicando ao nosso sistema
definido por , calcule:
Como a avaliação ponto a ponto distribui sobre soma e escala, isso é
Reagrupando:
Ou seja,
- Conclusão: o sistema satisfaz superposição e homogeneidade; portanto é linear.
Passo 3
Comentário didático rápido sobre por que isso era de esperar (mastigado):
- Operações de deslocamento e de reversão no tempo são operações lineares (avaliar
em um argumento transformado é linear). - A soma e subtração de sinais também preservam linearidade.
- Logo a combinação
é linear.
Passo 4
Invariância no tempo — definição e teste:
- Definição: um sistema
é invariante no tempo se atrasar a entrada equivale a atrasar a saída: para todo ,
- Calcule
. Se a entrada é , então
Cada termo avaliado:
Logo
- Agora calcule
. Como , temos
Simplificando o segundo termo:
portanto
- Comparando os dois resultados:
Os segundos termos são diferentes (geralmente
para sinais arbitrários). Portanto a igualdade exigida para invariância no tempo não vale em geral.
- Contraexemplo numérico simples (para fixar a ideia): tome
e . Então
enquanto
Como
em geral, o sistema não é invariante no tempo.
- Conclusão: o sistema é não invariante no tempo.
Passo 5
Inversibilidade — definição e teste prático:
- Definição: um sistema é invertível se, a partir de
, existe um operador (inverso) que recupera unicamente . Em termos de unicidade: se então . - Teste simples: se houver dois sinais diferentes que geram a mesma saída, o sistema não é invertível.
- Observe o caso de sinal constante: seja
(constante). Então
para todo
. Portanto todo sinal constante (com qualquer valor
) é levado à mesma saída nula. Em particular dois sinais diferentes (por exemplo
e
) produzem a mesma saída
.
- Conclusão: existe perda de informação (muitos
distintos mapeiam para a mesma ), logo o sistema não é invertível.
Passo 6
Estabilidade (BIBO) — definição e verificação:
- Definição (BIBO): o sistema é BIBO-estável se toda entrada limitada produz saída limitada. Formalmente, se existe
tal que para todo , , então existe tal que para todo . - Suponha
para todo . Então, para todo ,
Pelo triângulo reverso (ou desigualdade triangular),
- Assim podemos escolher
(finito) que serve para todos . - Conclusão: o sistema é BIBO-estável.
Passo 7
Causalidade — definição e teste:
- Definição: um sistema é causal se, para qualquer tempo
, a saída depende apenas de valores de entrada com (ou seja, não depende do futuro da entrada). - Analise os argumentos das duas parcelas em
:
Para que
seja informação do passado ou presente ao tempo
precisamos ter
, isto é
- Portanto quando
o termo usa valores de em tempos (futuro), o que viola causalidade. - Contraponto simples: escolha
. Então
e o termo
é claramente um valor futuro (em
), logo o sistema precisa de informação futura para calcular
.
- Conclusão: o sistema é não causal.
Resposta
Linear: linear
Invariância no tempo: não invariante no tempo
Inversibilidade: não invertível
Estabilidade: estável (BIBO)
Causalidade: não causal
Invariância no tempo: não invariante no tempo
Inversibilidade: não invertível
Estabilidade: estável (BIBO)
Causalidade: não causal