Classifique os seguintes sistemas com relação à linearidade, invariância no tempo, inversibilidade, estabilidade e causalidade:
y(t)=x(t-5)-x(3-t)

Passo 1

O enunciado dá a relação entrada-saída
y(t)=x(t-5)-x(3-t)
e pede a classificação do sistema quanto a:
  • linearidade,
  • invariância no tempo,
  • inversibilidade,
  • estabilidade (BIBO),
  • causalidade.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A saída y(t) é formada por duas partes: uma cópia de x atrasada em 5 unidades, \,x(t-5)\,, e outra cópia onde o tempo foi espelhado e deslocado, \,x(3-t)\,.
  • Não há mais dados (por ex., domínios ou restrições sobre x); vamos trabalhar com sinais de tempo contínuo genéricos.

Passo 2

Linearidade — definição e teste:
  • Definição: um sistema S é linear se, para quaisquer sinais x_1, x_2 e quaisquer escalares a,b,
S[a x_1 + b x_2] = a\,S[x_1] + b\,S[x_2].
  • Aplicando ao nosso sistema S definido por S[x](t)=x(t-5)-x(3-t), calcule:
S[a x_1 + b x_2](t) = (a x_1 + b x_2)(t-5) - (a x_1 + b x_2)(3-t).
Como a avaliação ponto a ponto distribui sobre soma e escala, isso é
= a\,x_1(t-5) + b\,x_2(t-5) - \bigl(a\,x_1(3-t) + b\,x_2(3-t)\bigr).
Reagrupando:
= a\bigl(x_1(t-5)-x_1(3-t)\bigr) + b\bigl(x_2(t-5)-x_2(3-t)\bigr).
Ou seja,
S[a x_1 + b x_2](t) = a\,S[x_1](t) + b\,S[x_2](t).
  • Conclusão: o sistema satisfaz superposição e homogeneidade; portanto é linear.

Passo 3

Comentário didático rápido sobre por que isso era de esperar (mastigado):
  • Operações de deslocamento e de reversão no tempo são operações lineares (avaliar x em um argumento transformado é linear).
  • A soma e subtração de sinais também preservam linearidade.
  • Logo a combinação x(\cdot -5) - x(3-\cdot) é linear.

Passo 4

Invariância no tempo — definição e teste:
  • Definição: um sistema S é invariante no tempo se atrasar a entrada equivale a atrasar a saída: para todo \tau,
S[x(t-\tau)](t) = S[x](t-\tau).
  • Calcule S[x(t-\tau)](t). Se a entrada é x_\tau(t)=x(t-\tau), então
S[x_\tau](t) = x_\tau(t-5) - x_\tau(3-t).
Cada termo avaliado:
x_\tau(t-5) = x(t-5-\tau),
x_\tau(3-t) = x(3-t-\tau).
Logo
S[x(t-\tau)](t) = x(t-5-\tau) - x(3-t-\tau).
  • Agora calcule S[x](t-\tau). Como S[x](t)=x(t-5)-x(3-t), temos
S[x](t-\tau) = x(t-\tau-5) - x(3-(t-\tau)).
Simplificando o segundo termo:
3-(t-\tau)=3-t+\tau,
portanto
S[x](t-\tau) = x(t-5-\tau) - x(3-t+\tau).
  • Comparando os dois resultados:
S[x(t-\tau)](t) = x(t-5-\tau) - x(3-t-\tau),
S[x](t-\tau) = x(t-5-\tau) - x(3-t+\tau).
Os segundos termos são diferentes (geralmente x(3-t-\tau)\neq x(3-t+\tau) para sinais arbitrários). Portanto a igualdade exigida para invariância no tempo não vale em geral.
  • Contraexemplo numérico simples (para fixar a ideia): tome x(t)=t e \tau=1. Então
S[x](t)= (t-5) - (3-t) = 2t-8,
S[x](t-1)=2(t-1)-8 = 2t-10,
enquanto
S[x(t-1)](t)= x(t-1-5) - x(3-t-1) = (t-6) - (2-t) = 2t-8.
Como 2t-10 \neq 2t-8 em geral, o sistema não é invariante no tempo.
  • Conclusão: o sistema é não invariante no tempo.

Passo 5

Inversibilidade — definição e teste prático:
  • Definição: um sistema é invertível se, a partir de y(t), existe um operador (inverso) que recupera unicamente x(t). Em termos de unicidade: se S[x_1]=S[x_2] então x_1=x_2.
  • Teste simples: se houver dois sinais diferentes que geram a mesma saída, o sistema não é invertível.
  • Observe o caso de sinal constante: seja x(t)=C (constante). Então
y(t)=C - C = 0
para todo t. Portanto todo sinal constante (com qualquer valor C) é levado à mesma saída nula. Em particular dois sinais diferentes (por exemplo x_1(t)=0 e x_2(t)=1) produzem a mesma saída y(t)=0.
  • Conclusão: existe perda de informação (muitos x distintos mapeiam para a mesma y), logo o sistema não é invertível.

Passo 6

Estabilidade (BIBO) — definição e verificação:
  • Definição (BIBO): o sistema é BIBO-estável se toda entrada limitada produz saída limitada. Formalmente, se existe M_x tal que para todo t, |x(t)|\le M_x<\infty, então existe M_y<\infty tal que |y(t)|\le M_y para todo t.
  • Suponha |x(t)| \le M para todo t. Então, para todo t,
|y(t)| = |x(t-5) - x(3-t)|.
Pelo triângulo reverso (ou desigualdade triangular),
|y(t)| \le |x(t-5)| + |x(3-t)| \le M + M = 2M.
  • Assim podemos escolher M_y = 2M (finito) que serve para todos t.
  • Conclusão: o sistema é BIBO-estável.

Passo 7

Causalidade — definição e teste:
  • Definição: um sistema é causal se, para qualquer tempo t_0, a saída y(t_0) depende apenas de valores de entrada x(\tau) com \tau \le t_0 (ou seja, não depende do futuro da entrada).
  • Analise os argumentos das duas parcelas em y(t):
\text{primeiro termo: } x(t-5)\quad\text{depende de } x\text{ em } \tau=t-5 \le t,
\text{segundo termo: } x(3-t)\quad\text{depende de } x\text{ em } \tau=3-t.
Para que x(3-t) seja informação do passado ou presente ao tempo t precisamos ter 3-t \le t, isto é
3 - t \le t \quad\Longrightarrow\quad 3 \le 2t \quad\Longrightarrow\quad t \ge \tfrac{3}{2}.
  • Portanto quando t < \tfrac{3}{2} o termo x(3-t) usa valores de x em tempos \tau = 3-t > t (futuro), o que viola causalidade.
  • Contraponto simples: escolha t=0. Então
y(0) = x(-5) - x(3),
e o termo x(3) é claramente um valor futuro (em t=0), logo o sistema precisa de informação futura para calcular y(0).
  • Conclusão: o sistema é não causal.

Resposta

Linear: linear
Invariância no tempo: não invariante no tempo
Inversibilidade: não invertível
Estabilidade: estável (BIBO)
Causalidade: não causal

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