Classifique os seguintes sistemas com relação à linearidade, invariância no tempo, inversibilidade, estabilidade e causalidade:
y(t)=u(x(t))

Passo 1

Enunciado: o sistema recebe um sinal de entrada x(t) e produz a saída
y(t)=u(x(t)),
onde u(\cdot) é uma função ponto-a-ponto que mapeia valores escalares (ou vetoriais) de tempo em valores de saída.
O que nos pediram: classificar o sistema quanto a
  • linearidade,
  • invariância no tempo,
  • inversibilidade,
  • estabilidade (BIBO),
  • causalidade.
    Informações relevantes dadas: a expressão funcional y(t)=u(x(t)); nada mais foi especificado sobre u (logo temos que dar respostas que dependem das propriedades de u quando for o caso).

Passo 2

Linearidade — definição e condição prática.
Definição: um sistema T é linear se, para quaisquer sinais x_1(t),x_2(t) e quaisquer escalares a,b,
T\{a x_1(t) + b x_2(t)\} = a\,T\{x_1(t)\} + b\,T\{x_2(t)\}.
No nosso caso T\{x(t)\}=u(x(t)). Então
T\{a x_1 + b x_2\}(t) = u\big(a x_1(t) + b x_2(t)\big)
e
a\,T\{x_1\}(t) + b\,T\{x_2\}(t) = a\,u\big(x_1(t)\big) + b\,u\big(x_2(t)\big).
Para que a igualdade da definição valha para quaisquer x_1,x_2,a,b precisamos que, para quaisquer números \alpha,\beta e quaisquer escalares a,b,
u(a\alpha + b\beta)=a\,u(\alpha)+b\,u(\beta).
Isto é exatamente a propriedade de linearidade da função u como mapeamento escala a escala. Conclusão prática: o sistema é linear se e somente se u for uma transformação linear do tipo
u(z)=k z
para alguma constante k (e sem termo constante adicional). Exemplos rápidos: u(z)=2z → sistema linear; u(z)=z+1 ou u(z)=z^2 → sistema NÃO linear.

Passo 3

Invariância no tempo — definição e verificação.
Definição: T é invariante no tempo se, para qualquer deslocamento t_0,
T\{x(t-t_0)\}(t) = y(t-t_0)
quando y(t)=T\{x(t)\}(t). Aqui, para entrada deslocada x(t-t_0) obtemos
T\{x(t-t_0)\}(t) = u\big(x(t-t_0)\big).
Mas y(t-t_0)=u\big(x(t-t_0)\big) também, pois y(\cdot)=u(x(\cdot)). Portanto a igualdade vale para todo t_0 e qualquer função u. Conclusão: o sistema é sempre invariante no tempo (não depende explicitamente de t).

Passo 4

Inversibilidade — definição e condição prática.
Definição: o sistema é invertível se existe um sistema inverso T^{-1} tal que, a partir da saída y(t), podemos recuperar unicamente a entrada x(t) para todo t. No nosso caso isso significa que, dado
y(t)=u(x(t)),
deve existir uma função inversa u^{-1} tal que
x(t)=u^{-1}(y(t))
para todo t. Isso só é possível se u for injetora (um-para-um) no domínio de interesse — e idealmente sobrejetora no codomínio para cobrir todas as saídas possíveis. Em resumo: o sistema é invertível sse u tem inversa funcional u^{-1}. Exemplos: u(z)=z^3 → invertível ( u^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}); u(z)=z^2 (no domínio real) → não invertível globalmente porque x e -x dão a mesma saída.

Passo 5

Estabilidade BIBO — definição e condição prática.
Definição BIBO: um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada produz saída limitada; isto é, se para qualquer entrada com
\sup_{t}|x(t)| \le M < \infty
temos
\sup_{t}|y(t)| < \infty.
No nosso sistema y(t)=u(x(t)). Logo, para qualquer M devemos ter
\sup_{t}|u(x(t))| \le \sup_{|z|\le M} |u(z)| < \infty.
Portanto a condição necessária e suficiente para BIBO é: para todo M<\infty, a função u é limitada no intervalo \{z:|z|\le M\}. Em palavras: u deve mapear conjuntos limitados em conjuntos limitados (ou seja, não pode ter “explosões” ou singularidades dentro de intervalos finitos). Observação útil: se u for contínua em todo \mathbb{R}, então para qualquer intervalo fechado e limitado [-M,M] ela é limitada (teorema do valor extremo), logo o sistema será BIBO estável. Contraexemplo: se u tiver singularidade numa posição finita (por exemplo u(z)=1/(z-1) com domínio incluindo pontos arbitrariamente próximos de 1), então podemos construir uma entrada limitada que faz a saída ficar arbitrariamente grande, logo instável.

Passo 6

Causalidade — definição e verificação.
Definição: o sistema é causal se a saída em tempo t depende apenas de valores de entrada em tempos \tau \le t (passado e presente), não em futuros \tau>t. Aqui y(t) depende apenas de x(t) no mesmo instante t (apenas o valor presente), então não depende de valores de x em instantes maiores que t. Conclusão: o sistema é causal para qualquer u.

Passo 7

Recapitulando com exemplos intuitivos para fixar:
  • Se u(z)=2z: linear, LTI, invertível ( u^{-1}(y)=y/2), BIBO estável (continua), causal.
  • Se u(z)=z^2: não linear, LTI (no sentido de invariância no tempo), não invertível globalmente, BIBO estável (é contínua), causal.
  • Se u(z)=1/(z-1) e domínio inclui valores próximos de 1: não linear, LTI, possivelmente não BIBO estável (pois entradas limitadas perto de 1 geram saídas arbitrárias), causal; inversibilidade depende se restrigirmos domínio/contradomínio.

Resposta

Linearidade: o sistema é linear se, e somente se, u(z)=k z para alguma constante k; caso contrário é não linear.
Invariância no tempo: invariante no tempo (sempre).
Inversibilidade: invertível sse u é bijetora (tem inversa u^{-1}); caso contrário não é invertível.
Estabilidade (BIBO): BIBO estável sse u mapeia conjuntos limitados em conjuntos limitados (por exemplo, se u é contínua em \mathbb{R} então é estável); se u tem singularidade/explosão em um intervalo finito então pode ser instável.
Causalidade: causal (sempre).

Exercícios relacionados