Classifique os seguintes sistemas com relação à linearidade, invariância no tempo, inversibilidade, estabilidade e causalidade:
Passo 1
Enunciado: o sistema recebe um sinal de entrada
e produz a saída
onde
é uma função ponto-a-ponto que mapeia valores escalares (ou vetoriais) de tempo em valores de saída.
O que nos pediram: classificar o sistema quanto a
O que nos pediram: classificar o sistema quanto a
- linearidade,
- invariância no tempo,
- inversibilidade,
- estabilidade (BIBO),
- causalidade.
Informações relevantes dadas: a expressão funcional; nada mais foi especificado sobre (logo temos que dar respostas que dependem das propriedades de quando for o caso).
Passo 2
Linearidade — definição e condição prática.
Definição: um sistema é linear se, para quaisquer sinais
e quaisquer escalares
,
Definição: um sistema
No nosso caso
. Então
e
Para que a igualdade da definição valha para quaisquer
precisamos que, para quaisquer números
e quaisquer escalares
,
Isto é exatamente a propriedade de linearidade da função
como mapeamento escala a escala. Conclusão prática: o sistema é linear se e somente se
for uma transformação linear do tipo
para alguma constante
(e sem termo constante adicional). Exemplos rápidos:
→ sistema linear;
ou
→ sistema NÃO linear.
Passo 3
Invariância no tempo — definição e verificação.
Definição: é invariante no tempo se, para qualquer deslocamento
,
Definição:
quando
. Aqui, para entrada deslocada
obtemos
Mas
também, pois
. Portanto a igualdade vale para todo
e qualquer função
. Conclusão: o sistema é sempre invariante no tempo (não depende explicitamente de
).
Passo 4
Inversibilidade — definição e condição prática.
Definição: o sistema é invertível se existe um sistema inverso tal que, a partir da saída
, podemos recuperar unicamente a entrada
para todo
. No nosso caso isso significa que, dado
Definição: o sistema é invertível se existe um sistema inverso
deve existir uma função inversa
tal que
para todo
. Isso só é possível se
for injetora (um-para-um) no domínio de interesse — e idealmente sobrejetora no codomínio para cobrir todas as saídas possíveis. Em resumo: o sistema é invertível sse
tem inversa funcional
. Exemplos:
→ invertível (
);
(no domínio real) → não invertível globalmente porque
e
dão a mesma saída.
Passo 5
Estabilidade BIBO — definição e condição prática.
Definição BIBO: um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada produz saída limitada; isto é, se para qualquer entrada com
Definição BIBO: um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada produz saída limitada; isto é, se para qualquer entrada com
temos
No nosso sistema
. Logo, para qualquer
devemos ter
Portanto a condição necessária e suficiente para BIBO é: para todo
, a função
é limitada no intervalo
. Em palavras:
deve mapear conjuntos limitados em conjuntos limitados (ou seja, não pode ter “explosões” ou singularidades dentro de intervalos finitos). Observação útil: se
for contínua em todo
, então para qualquer intervalo fechado e limitado
ela é limitada (teorema do valor extremo), logo o sistema será BIBO estável. Contraexemplo: se
tiver singularidade numa posição finita (por exemplo
com domínio incluindo pontos arbitrariamente próximos de
), então podemos construir uma entrada limitada que faz a saída ficar arbitrariamente grande, logo instável.
Passo 6
Causalidade — definição e verificação.
Definição: o sistema é causal se a saída em tempo depende apenas de valores de entrada em tempos
(passado e presente), não em futuros
. Aqui
depende apenas de
no mesmo instante
(apenas o valor presente), então não depende de valores de
em instantes maiores que
. Conclusão: o sistema é causal para qualquer
.
Definição: o sistema é causal se a saída em tempo
Passo 7
Recapitulando com exemplos intuitivos para fixar:
- Se
: linear, LTI, invertível ( ), BIBO estável (continua), causal. - Se
: não linear, LTI (no sentido de invariância no tempo), não invertível globalmente, BIBO estável (é contínua), causal. - Se
e domínio inclui valores próximos de : não linear, LTI, possivelmente não BIBO estável (pois entradas limitadas perto de geram saídas arbitrárias), causal; inversibilidade depende se restrigirmos domínio/contradomínio.
Resposta
Linearidade: o sistema é linear se, e somente se,
para alguma constante
; caso contrário é não linear.
Invariância no tempo: invariante no tempo (sempre).
Inversibilidade: invertível sse é bijetora (tem inversa
); caso contrário não é invertível.
Estabilidade (BIBO): BIBO estável sse mapeia conjuntos limitados em conjuntos limitados (por exemplo, se
é contínua em
então é estável); se
tem singularidade/explosão em um intervalo finito então pode ser instável.
Causalidade: causal (sempre).
Invariância no tempo: invariante no tempo (sempre).
Inversibilidade: invertível sse
Estabilidade (BIBO): BIBO estável sse
Causalidade: causal (sempre).