Utilize o fator integrante y^{2} para resolver a equação 6 x y d x+\left(4 y+9 x^{2}\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
6 x y\,dx + \left(4 y + 9 x^{2}\right) dy = 0
usando o fator integrante y^{2}.
Informações dadas: a equação diferencial na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 e o fator integrante dependente de y, explicitamente \mu(y)=y^{2}. A meta é multiplicar a equação por esse \mu, obter uma equação exata e então encontrar a solução geral (implícita).

Passo 2

Vamos identificar M e N antes de usar o fator integrante:
M(x,y)=6xy,\qquad N(x,y)=4y+9x^{2}.
Uma equação diferencial na forma M\,dx+N\,dy=0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
A condição prática de exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui vamos checar:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(6xy)=6x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(4y+9x^{2})=18x.
Como 6x\neq 18x em geral, a equação não é exata. Por isso o fator integrante é necessário.

Passo 3

O fator integrante dado é \mu(y)=y^{2}. A ideia é multiplicar toda a equação por \mu(y) para obter uma nova equação
\tilde M(x,y)\,dx + \tilde N(x,y)\,dy=0
que seja exata, onde
\tilde M=\mu(y)M,\qquad \tilde N=\mu(y)N.
Multiplicando:
\tilde M(x,y)=y^{2}\cdot 6xy = 6x y^{3},
\tilde N(x,y)=y^{2}\cdot (4y+9x^{2}) = 4y^{3} + 9x^{2}y^{2}.

Passo 4

Agora verificamos a exatidão da equação multiplicada:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(6x y^{3}) = 6x\cdot 3 y^{2} = 18x y^{2},
\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(4y^{3} + 9x^{2}y^{2}) = 0 + 9\cdot 2 x\, y^{2} = 18x y^{2}.
Como as derivadas parciais coincidem, a equação multiplicada por y^{2} é exata. Ou seja, existe \Phi(x,y) com \partial\Phi/\partial x=\tilde M e \partial\Phi/\partial y=\tilde N.

Passo 5

Para achar \Phi(x,y) integramos \tilde M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int \tilde M(x,y)\,dx = \int 6x y^{3}\,dx.
Aqui y^{3} é constante no integral em x, então
\Phi(x,y)=6 y^{3}\cdot \frac{x^{2}}{2} + h(y) = 3 x^{2} y^{3} + h(y),
onde h(y) é uma função que depende só de y (pois a integral indefinida em x pode ter termo “constante” que depende de y).

Passo 6

Agora imponho a condição \partial\Phi/\partial y=\tilde N para determinar h(y). Calculo \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(3 x^{2} y^{3} + h(y)\big) = 3 x^{2}\cdot 3 y^{2} + h'(y) = 9 x^{2} y^{2} + h'(y).
Devemos ter
9 x^{2} y^{2} + h'(y) = \tilde N(x,y) = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}.
Cancelando 9 x^{2} y^{2} dos dois lados obtemos
h'(y)=4 y^{3}.
Integrando em y:
h(y)=\int 4 y^{3}\,dy = 4\cdot \frac{y^{4}}{4} = y^{4} + C_{1}.
O termo constante C_{1} pode ser absorvido no constante final da solução implícita, então podemos tomar h(y)=y^{4} para construir \Phi.

Passo 7

Substituindo h(y) em \Phi temos
\Phi(x,y)=3 x^{2} y^{3} + y^{4}.
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por \Phi(x,y)=C, com C constante arbitrária. Portanto a solução geral da equação original (após multiplicar pelo fator integrante) é
3 x^{2} y^{3} + y^{4} = C.
Podemos, se quisermos, fatorar y^{3}:
y^{3}\big(3x^{2}+y\big)=C,
mas ambas as formas representam a mesma família de curvas implícitas solução.

Resposta

3 x^{2} y^{3} + y^{4} = C

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