Utilize o fator integrante
para resolver a equação
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o fator integrante
.
Informações dadas: a equação diferencial na forma e o fator integrante dependente de
, explicitamente
. A meta é multiplicar a equação por esse
, obter uma equação exata e então encontrar a solução geral (implícita).
Informações dadas: a equação diferencial na forma
Passo 2
Vamos identificar
e
antes de usar o fator integrante:
Uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função
tal que
A condição prática de exatidão é
Aqui vamos checar:
Como
em geral, a equação não é exata. Por isso o fator integrante é necessário.
Passo 3
O fator integrante dado é
. A ideia é multiplicar toda a equação por
para obter uma nova equação
que seja exata, onde
Multiplicando:
Passo 4
Agora verificamos a exatidão da equação multiplicada:
Como as derivadas parciais coincidem, a equação multiplicada por
é exata. Ou seja, existe
com
e
.
Passo 5
Para achar
integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Aqui
é constante no integral em
, então
onde
é uma função que depende só de
(pois a integral indefinida em
pode ter termo “constante” que depende de
).
Passo 6
Agora imponho a condição
para determinar
. Calculo
:
Devemos ter
Cancelando
dos dois lados obtemos
Integrando em
:
O termo constante
pode ser absorvido no constante final da solução implícita, então podemos tomar
para construir
.
Passo 7
Substituindo
em
temos
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
, com
constante arbitrária. Portanto a solução geral da equação original (após multiplicar pelo fator integrante) é
Podemos, se quisermos, fatorar
:
mas ambas as formas representam a mesma família de curvas implícitas solução.