Classifique os seguintes sistemas com relação à linearidade, invariância no tempo, inversibilidade, estabilidade e causalidade:
y(t)=\cos (2 \pi t) x(t)

Passo 1

O enunciado dá o sistema cujo relacionamento entrada-saída é
y(t)=\cos(2\pi t)\,x(t).
O que se pede é classificar esse sistema quanto a:
  • linearidade;
  • invariância no tempo (time-invariance);
  • inversibilidade;
  • estabilidade (BIBO);
  • causalidade.
Informações relevantes dadas: a expressão da saída em função da entrada e do tempo. Não há outras condições (por exemplo, restrição sobre x(t)).

Passo 2

Linearidade — definição e verificação passo a passo.
Definição (em palavras simples): um sistema é linear se satisfaz o princípio da superposição: para quaisquer entradas x_1(t), x_2(t) e quaisquer escalares a,b,
L\{a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\}=a\,L\{x_1(t)\}+b\,L\{x_2(t)\}.
Aplicando isso ao nosso sistema L\{\cdot\} dado por \;L\{x\}(t)=\cos(2\pi t)\,x(t):
Calcule o lado esquerdo:
L\{a\,x_1+b\,x_2\}(t)=\cos(2\pi t)\bigl(a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\bigr).
Use propriedade distributiva (algebricamente):
\cos(2\pi t)\bigl(a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\bigr)=a\,\cos(2\pi t)x_1(t)+b\,\cos(2\pi t)x_2(t).
Mas a\,\cos(2\pi t)x_1(t)=a\,L\{x_1\}(t) e similarmente para x_2. Portanto
L\{a\,x_1+b\,x_2\}(t)=a\,L\{x_1\}(t)+b\,L\{x_2\}(t).
Conclusão do passo: o sistema é linear. (Multiplicar a entrada por uma função do tempo ainda preserva a linearidade porque a operação é linear em x(t).)

Passo 3

Invariância no tempo — definição e verificação com contraexemplo.
Definição (em palavras): um sistema é invariante no tempo se um deslocamento da entrada gera o mesmo deslocamento na saída. Formalmente, para todo deslocamento t_0,
L\{x(t-t_0)\}(t)\stackrel{?}{=}y(t-t_0),
onde y(t)=L\{x\}(t).
Calcule o lado esquerdo para nosso sistema:
L\{x(t-t_0)\}(t)=\cos(2\pi t)\,x(t-t_0).
Calcule o lado direito (deslocamento da saída original):
y(t-t_0)=\cos\bigl(2\pi (t-t_0)\bigr)\,x(t-t_0)=\cos(2\pi t-2\pi t_0)\,x(t-t_0).
Comparando, vemos que os dois são distintos em geral porque \cos(2\pi t) não é igual a \cos(2\pi t-2\pi t_0) para todo t_0.
Contraexemplo numérico simples para deixar claro: escolha x(t)=1 (sinal constante) e t_0=\tfrac{1}{2}. Então
L\{x(t-t_0)\}(t)=\cos(2\pi t)
mas
y(t-t_0)=\cos\bigl(2\pi (t-\tfrac{1}{2})\bigr)=\cos(2\pi t-\pi)=-\cos(2\pi t),
que nem sempre coincide com \cos(2\pi t). Logo o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

Causalidade — definição e verificação.
Definição (em palavras): um sistema é causal se, para calcular a saída em um instante t, ele usa apenas valores da entrada em instantes \tau\le t (presente e passado), e não valores futuros \tau>t.
No nosso sistema y(t)=\cos(2\pi t)\,x(t) a saída em t depende apenas de x(t) e do fator conhecido \cos(2\pi t) (que é uma função pré-determinada do tempo). Não há dependência em valores x(\tau) com \tau>t. Formalmente, se x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t, então em particular x_1(t)=x_2(t), e portanto
y_1(t)=\cos(2\pi t)x_1(t)=\cos(2\pi t)x_2(t)=y_2(t).
Isso mostra causalidade.
Conclusão do passo: o sistema é causal.

Passo 5

Estabilidade BIBO — definição e verificação.
Definição (em palavras): um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada produz saída limitada. Mais formalmente, se existe M_x<\infty tal que |x(t)|\le M_x para todo t, então deve existir M_y<\infty com |y(t)|\le M_y para todo t.
Para o nosso sistema, suponha |x(t)|\le M_x para todo t. Então
|y(t)|=|\cos(2\pi t)|\,|x(t)|\le |\cos(2\pi t)|\,M_x.
Como |\cos(2\pi t)|\le 1 para todo t, temos
|y(t)|\le M_x.
Portanto podemos escolher M_y=M_x e a saída é limitada. Logo o sistema é BIBO estável.

Passo 6

Inversibilidade — definição, análise e conclusão.
Definição (em palavras): o sistema é invertível se existe um outro sistema que, a partir de y(t), reconstrói unicamente x(t) para todo t.
Para nosso sistema a relação é \;y(t)=\cos(2\pi t)\,x(t). Se \cos(2\pi t)\neq 0 podemos recuperar x(t) por
x(t)=\frac{y(t)}{\cos(2\pi t)}\quad\text{(quando \(\cos(2\pi t)\neq 0\)).}
Porém existem instantes onde \cos(2\pi t)=0. Vamos achar esses instantes: resolva \cos(2\pi t)=0. Isso ocorre quando
2\pi t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
ou seja
t=\tfrac{1}{4}+\tfrac{k}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
Nesses instantes t temos y(t)=0 independentemente de x(t). Logo diferentes entradas x(t) que tomem valores distintos nestes instantes geram a mesma saída y(t)=0, tornando impossível recuperar x(t) nesses instantes a partir de y(t) apenas. Portanto o sistema não é invertível globalmente.
Observação útil: se restringíssemos o problema ao subconjunto de instantes onde \cos(2\pi t)\neq 0, haveria uma inversa ponto a ponto x(t)=y(t)/\cos(2\pi t); ainda assim, como sistema global ao longo de todo t, não é invertível.

Resposta

Linear: Sim
Invariante no tempo: Não
Invertível: Não
Estável (BIBO): Sim
Causal: Sim

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