Classifique os seguintes sistemas com relação à linearidade, invariância no tempo, inversibilidade, estabilidade e causalidade:
Passo 1
O enunciado dá o sistema cujo relacionamento entrada-saída é
O que se pede é classificar esse sistema quanto a:
- linearidade;
- invariância no tempo (time-invariance);
- inversibilidade;
- estabilidade (BIBO);
- causalidade.
Informações relevantes dadas: a expressão da saída em função da entrada e do tempo. Não há outras condições (por exemplo, restrição sobre
).
Passo 2
Linearidade — definição e verificação passo a passo.
Definição (em palavras simples): um sistema é linear se satisfaz o princípio da superposição: para quaisquer entradas
,
e quaisquer escalares
,
Aplicando isso ao nosso sistema
dado por
:
Calcule o lado esquerdo:
Use propriedade distributiva (algebricamente):
Mas
e similarmente para
. Portanto
Conclusão do passo: o sistema é linear. (Multiplicar a entrada por uma função do tempo ainda preserva a linearidade porque a operação é linear em
.)
Passo 3
Invariância no tempo — definição e verificação com contraexemplo.
Definição (em palavras): um sistema é invariante no tempo se um deslocamento da entrada gera o mesmo deslocamento na saída. Formalmente, para todo deslocamento
,
onde
.
Calcule o lado esquerdo para nosso sistema:
Calcule o lado direito (deslocamento da saída original):
Comparando, vemos que os dois são distintos em geral porque
não é igual a
para todo
.
Contraexemplo numérico simples para deixar claro: escolha
(sinal constante) e
. Então
mas
que nem sempre coincide com
. Logo o sistema não é invariante no tempo.
Passo 4
Causalidade — definição e verificação.
Definição (em palavras): um sistema é causal se, para calcular a saída em um instante
, ele usa apenas valores da entrada em instantes
(presente e passado), e não valores futuros
.
No nosso sistema
a saída em
depende apenas de
e do fator conhecido
(que é uma função pré-determinada do tempo). Não há dependência em valores
com
. Formalmente, se
para todo
, então em particular
, e portanto
Isso mostra causalidade.
Conclusão do passo: o sistema é causal.
Passo 5
Estabilidade BIBO — definição e verificação.
Definição (em palavras): um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada produz saída limitada. Mais formalmente, se existe
tal que
para todo
, então deve existir
com
para todo
.
Para o nosso sistema, suponha
para todo
. Então
Como
para todo
, temos
Portanto podemos escolher
e a saída é limitada. Logo o sistema é BIBO estável.
Passo 6
Inversibilidade — definição, análise e conclusão.
Definição (em palavras): o sistema é invertível se existe um outro sistema que, a partir de
, reconstrói unicamente
para todo
.
Para nosso sistema a relação é
. Se
podemos recuperar
por
Porém existem instantes onde
. Vamos achar esses instantes: resolva
. Isso ocorre quando
ou seja
Nesses instantes
temos
independentemente de
. Logo diferentes entradas
que tomem valores distintos nestes instantes geram a mesma saída
, tornando impossível recuperar
nesses instantes a partir de
apenas. Portanto o sistema não é invertível globalmente.
Observação útil: se restringíssemos o problema ao subconjunto de instantes onde
, haveria uma inversa ponto a ponto
; ainda assim, como sistema global ao longo de todo
, não é invertível.
Resposta
Linear: Sim
Invariante no tempo: Não
Invertível: Não
Estável (BIBO): Sim
Causal: Sim
Invariante no tempo: Não
Invertível: Não
Estável (BIBO): Sim
Causal: Sim