Classifique os seguintes sistemas com relação à linearidade, invariância no tempo, inversibilidade, estabilidade e causalidade:
\mathrm{y}(\mathrm{t})=\mathrm{x}(\mathrm{t} / 2)

Passo 1

O enunciado dá o sistema descrito pela lei
y(t)=x(t/2).
O que precisa ser classificado (cada item deve ser respondido): linearidade, invariância no tempo, inversibilidade, estabilidade (BIBO) e causalidade.
Informações relevantes: a saída em qualquer instante t é simplesmente o valor da entrada no instante t/2. Não há outras condições dadas (como restrições em x ou domínio). A resolução começará a partir dessa expressão pura.

Passo 2

Linearidade — definição e teste prático.
Definição: um sistema T é linear se, para quaisquer sinais x_1(t), x_2(t) e quaisquer escalares a,b, valer
T\{a x_1(t) + b x_2(t)\} = a\,T\{x_1(t)\} + b\,T\{x_2(t)\}.
Aqui o operador T é T\{x\}(t)=x(t/2). Vou aplicar a definição passo a passo.
Calcule a saída para a combinação linear do input:
T\{a x_1 + b x_2\}(t) = (a x_1 + b x_2)\bigl(t/2\bigr).
Como soma e multiplicação por escalar são operações ponto a ponto,
(a x_1 + b x_2)\bigl(t/2\bigr) = a\,x_1\bigl(t/2\bigr) + b\,x_2\bigl(t/2\bigr).
Mas x_1(t/2)=T\{x_1\}(t) e x_2(t/2)=T\{x_2\}(t). Logo
T\{a x_1 + b x_2\}(t) = a\,T\{x_1\}(t) + b\,T\{x_2\}(t).
Conclusão do passo: o sistema satisfaz superposição e, portanto, é linear.

Passo 3

Invariância no tempo — definição e teste prático.
Definição: o sistema T é invariante no tempo se, para qualquer atraso t_0,
T\{x(t - t_0)\}(t) = T\{x\}(t - t_0).
Irei calcular os dois lados e comparar.
Lado esquerdo (aplicar T a um sinal deslocado):
T\{x(t - t_0)\}(t) = x\bigl((t)/2 - t_0\bigr).
Detalhe do passo: substituí t por t/2 na expressão x(\cdot - t_0).
Lado direito (deslocar a saída por t_0):
T\{x\}(t - t_0) = x\bigl((t - t_0)/2\bigr) = x\bigl(t/2 - t_0/2\bigr).
Comparando os argumentos das duas expressões:
(t)/2 - t_0 \quad\text{versus}\quad t/2 - t_0/2.
Eles são iguais somente se t_0 = 0 (caso trivial). Para um atraso não nulo, em geral
(t)/2 - t_0 \neq t/2 - t_0/2,
portanto os dois lados são diferentes para sinais genéricos x. Exemplo numérico rápido para fixar: escolha t_0=2. Então o lado esquerdo dá x(t/2-2) e o direito dá x(t/2-1) — claramente distintos.
Conclusão do passo: o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

Inversibilidade — definição, derivação do inverso e verificação.
Definição: o sistema T é inversível se existe um operador T^{-1} tal que para toda entrada x,
T^{-1}\{T\{x\}\}(t) = x(t).
Sabemos y(t)=T\{x\}(t)=x(t/2). Queremos achar T^{-1} que recupere x a partir de y.
Proposta: tente expressar x em função de y. Substitua t por 2t na relação y(t)=x(t/2):
y(2t)=x(2t/2)=x(t).
Isso dá explicitamente
x(t)=y(2t).
Portanto o operador inverso é T^{-1}\{y\}(t)=y(2t). Verificação rápida:
T^{-1}\{T\{x\}\}(t) = T^{-1}\{y\}(t) = y(2t) = x(2t/2) = x(t).
Além disso, T\{T^{-1}\{y\}\}(t) = T\{y(2\cdot)\}(t) = y(2\cdot (t/2)) = y(t), mostrando inversibilidade bijetiva.
Conclusão do passo: o sistema é inversível; o inverso é T^{-1}\{y\}(t)=y(2t).

Passo 5

Estabilidade (BIBO) — definição e verificação com desigualdades.
Definição BIBO: o sistema é BIBO estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada. Ou seja, se existir B_x tal que |x(t)|\le B_x para todo t, então deve existir B_y com |y(t)|\le B_y para todo t.
Aqui y(t)=x(t/2). Suponha |x(t)| \le B_x para todo t. Então, para qualquer t,
|y(t)| = |x(t/2)| \le B_x,
porque t/2 também é um tempo qualquer onde a entrada respeita o mesmo limite. Portanto podemos tomar B_y=B_x. Assim qualquer entrada limitada produz saída limitada.
Conclusão do passo: o sistema é BIBO estável.

Passo 6

Causalidade — definição e teste prático com argumentos temporais.
Definição: um sistema é causal se, para cada instante t_0, a saída y(t_0) depende apenas de valores de x(t) para t \le t_0 (não depende do futuro). Preciso verificar se y(t)=x(t/2) usa apenas valores de x em instantes \le t.
Compare o instante de avaliação do argumento: para saída em t a entrada é avaliada em t/2. A condição de causalidade exige t/2 \le t para todo t. Vamos ver se isso é verdade para todo t.
Analise:
t/2 \le t \quad\Longleftrightarrow\quad t/2 - t \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -t/2 \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t \ge 0.
Então para t\ge 0 de fato t/2 \le t (o sistema usa instantes passados ou presentes da entrada). Porém para t<0 temos t/2 > t; ou seja, a saída em t depende de x em um instante maior que t, isto é, do “futuro” relativo a t. Exemplo concreto: para t=-2 temos y(-2)=x(-1); o valor x(-1) é posterior a -2, então é dependência do futuro. Por isso o sistema não satisfaz a definição de causalidade para todos os instantes.
Conclusão do passo: o sistema é não causal.

Resposta

Linearidade: linear
Invariância no tempo: não invariante (não-TI)
Inversibilidade: inversível; T^{-1}\{y\}(t)=y(2t)
Estabilidade: estável (BIBO estável)
Causalidade: não causal

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