Classifique os seguintes sistemas com relação à linearidade, invariância no tempo, inversibilidade, estabilidade e causalidade:
Passo 1
O enunciado dá o sistema descrito pela lei
O que precisa ser classificado (cada item deve ser respondido): linearidade, invariância no tempo, inversibilidade, estabilidade (BIBO) e causalidade.
Informações relevantes: a saída em qualquer instante é simplesmente o valor da entrada no instante
. Não há outras condições dadas (como restrições em
ou domínio). A resolução começará a partir dessa expressão pura.
Informações relevantes: a saída em qualquer instante
Passo 2
Linearidade — definição e teste prático.
Definição: um sistema é linear se, para quaisquer sinais
,
e quaisquer escalares
, valer
Definição: um sistema
Aqui o operador
é
. Vou aplicar a definição passo a passo.
Calcule a saída para a combinação linear do input:
Como soma e multiplicação por escalar são operações ponto a ponto,
Mas
e
. Logo
Conclusão do passo: o sistema satisfaz superposição e, portanto, é linear.
Passo 3
Invariância no tempo — definição e teste prático.
Definição: o sistema é invariante no tempo se, para qualquer atraso
,
Definição: o sistema
Irei calcular os dois lados e comparar.
Lado esquerdo (aplicar
a um sinal deslocado):
Detalhe do passo: substituí
por
na expressão
.
Lado direito (deslocar a saída por
):
Comparando os argumentos das duas expressões:
Eles são iguais somente se
(caso trivial). Para um atraso não nulo, em geral
portanto os dois lados são diferentes para sinais genéricos
. Exemplo numérico rápido para fixar: escolha
. Então o lado esquerdo dá
e o direito dá
— claramente distintos.
Conclusão do passo: o sistema não é invariante no tempo.
Conclusão do passo: o sistema não é invariante no tempo.
Passo 4
Inversibilidade — definição, derivação do inverso e verificação.
Definição: o sistema é inversível se existe um operador
tal que para toda entrada
,
Definição: o sistema
Sabemos
. Queremos achar
que recupere
a partir de
.
Proposta: tente expressar
em função de
. Substitua
por
na relação
:
Isso dá explicitamente
Portanto o operador inverso é
. Verificação rápida:
Além disso,
, mostrando inversibilidade bijetiva.
Conclusão do passo: o sistema é inversível; o inverso é .
Conclusão do passo: o sistema é inversível; o inverso é
Passo 5
Estabilidade (BIBO) — definição e verificação com desigualdades.
Definição BIBO: o sistema é BIBO estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada. Ou seja, se existir tal que
para todo
, então deve existir
com
para todo
.
Definição BIBO: o sistema é BIBO estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada. Ou seja, se existir
Aqui
. Suponha
para todo
. Então, para qualquer
,
porque
também é um tempo qualquer onde a entrada respeita o mesmo limite. Portanto podemos tomar
. Assim qualquer entrada limitada produz saída limitada.
Conclusão do passo: o sistema é BIBO estável.
Conclusão do passo: o sistema é BIBO estável.
Passo 6
Causalidade — definição e teste prático com argumentos temporais.
Definição: um sistema é causal se, para cada instante , a saída
depende apenas de valores de
para
(não depende do futuro). Preciso verificar se
usa apenas valores de
em instantes
.
Definição: um sistema é causal se, para cada instante
Compare o instante de avaliação do argumento: para saída em
a entrada é avaliada em
. A condição de causalidade exige
para todo
. Vamos ver se isso é verdade para todo
.
Analise:
Então para
de fato
(o sistema usa instantes passados ou presentes da entrada). Porém para
temos
; ou seja, a saída em
depende de
em um instante maior que
, isto é, do “futuro” relativo a
. Exemplo concreto: para
temos
; o valor
é posterior a
, então é dependência do futuro. Por isso o sistema não satisfaz a definição de causalidade para todos os instantes.
Conclusão do passo: o sistema é não causal.
Conclusão do passo: o sistema é não causal.
Resposta
Linearidade: linear
Invariância no tempo: não invariante (não-TI)
Inversibilidade: inversível;
Estabilidade: estável (BIBO estável)
Causalidade: não causal
Invariância no tempo: não invariante (não-TI)
Inversibilidade: inversível;
Estabilidade: estável (BIBO estável)
Causalidade: não causal