Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras fismos T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2 y \\\ y-2 z \\\ y+z\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T é um fismo (isomorfismo) entre \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{3}?
Vou listar também as informações relevantes dadas: a regra de T fornece os três componentes lineares em x,y,z; o domínio e o contradomínio são ambos \mathbb{R}^3.]
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3. Para isso calculamos as imagens dos vetores da base canônica:
Explicação curta: cada coluna j de A é T(e_j), onde e_j é o j-ésimo vetor da base canônica.]
Passo 3
Um critério prático (muito usado em provas) para saber se uma transformação linear de \mathbb{R}^n em \mathbb{R}^n é inversível é verificar se a matriz associada tem determinante diferente de zero. Vou calcular o determinante de A.
Como \det(A)=3\neq 0, concluímos que a matriz A é invertível.]
Passo 4
Interpretação do resultado e por que isso responde às perguntas:
Em espaços vetoriais finito-dimensionais (como \mathbb{R}^3), uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo (kernel) é \{0\}. Outra condição equivalente é que a matriz associada tenha posto completo. Para transformações \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, posto completo significa posto =3.
A matriz A tem \det(A)\neq 0. Isso implica que A é invertível, o que significa que a transformação linear é bijetora (injetora e sobrejetora). Uma bijeção linear entre espaços de mesma dimensão é exatamente um isomorfismo (fismo).
Vou, por completude didática (útil para a hora da prova), também mostrar a verificação via resolução do núcleo — método direto e básico que frequentemente aparece em exercícios.
Passo 5
Verificação do núcleo de T\) resolvendo \(T(x,y,z)=0\). Escrevemos o sistema
\[\begin{cases} x+2y=0,\\[4pt] y-2z=0,\\[4pt] y+z=0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
Da primeira equação segue \;x=-2y\].
- Da segunda equação segue \(\;y=2z.
- Substituindo y=2z na terceira equação obtemos \;2z+z=3z=0, logo \;z=0.
- Com z=0 vem y=2z=0 e depois x=-2y=0.
Portanto a única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Assim \ker(T)=\{\mathbf{0}\}, o que prova diretamente que T é injetora.]
Passo 6
Conclusão combinando os dois argumentos:
Da verificação do núcleo obtemos que T é injetora.
Do cálculo do determinante vimos que \det(A)=3\neq 0, então A é invertível e T é bijetora; sendo bijetora e linear entre \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^3, T é um isomorfismo (fismo).
Força aí — com esse tipo de raciocínio na prova você resolve rápido: calcular imagens dos vetores da base, montar matriz, checar determinante ou resolver o núcleo por eliminação.