Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras fismos
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2 y \\\ y-2 z \\\ y+z\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T\!\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x+2y\\[4pt]y-2z\\[4pt]y+z\end{bmatrix}.
As perguntas que temos de responder são:
  1. T é injetora?
  2. T é um fismo (isomorfismo) entre \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{3}?
Vou listar também as informações relevantes dadas: a regra de T fornece os três componentes lineares em x,y,z; o domínio e o contradomínio são ambos \mathbb{R}^3.]

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3. Para isso calculamos as imagens dos vetores da base canônica:
T\big(\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}\big)=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix},\quad T\big(\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix}\big)=\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]1\end{bmatrix},\quad T\big(\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix}\big)=\begin{bmatrix}0\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{bmatrix}.
A matriz A de T na base canônica tem essas imagens como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação curta: cada coluna j de A é T(e_j), onde e_j é o j-ésimo vetor da base canônica.]

Passo 3

Um critério prático (muito usado em provas) para saber se uma transformação linear de \mathbb{R}^n em \mathbb{R}^n é inversível é verificar se a matriz associada tem determinante diferente de zero. Vou calcular o determinante de A.
Usando a expansão pela primeira linha temos
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-2)\cdot1=1+2=3,
\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-(-2)\cdot0=0.
Portanto
\det(A)=1\cdot 3 - 2\cdot 0 = 3.
Como \det(A)=3\neq 0, concluímos que a matriz A é invertível.]

Passo 4

Interpretação do resultado e por que isso responde às perguntas:
  • Em espaços vetoriais finito-dimensionais (como \mathbb{R}^3), uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo (kernel) é \{0\}. Outra condição equivalente é que a matriz associada tenha posto completo. Para transformações \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, posto completo significa posto =3.
  • A matriz A tem \det(A)\neq 0. Isso implica que A é invertível, o que significa que a transformação linear é bijetora (injetora e sobrejetora). Uma bijeção linear entre espaços de mesma dimensão é exatamente um isomorfismo (fismo).
Vou, por completude didática (útil para a hora da prova), também mostrar a verificação via resolução do núcleo — método direto e básico que frequentemente aparece em exercícios.

Passo 5

Verificação do núcleo de T\) resolvendo \(T(x,y,z)=0\). Escrevemos o sistema \[\begin{cases} x+2y=0,\\[4pt] y-2z=0,\\[4pt] y+z=0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
  • Da primeira equação segue \;x=-2y\]. - Da segunda equação segue \(\;y=2z.
    - Substituindo y=2z na terceira equação obtemos \;2z+z=3z=0, logo \;z=0.
    - Com z=0 vem y=2z=0 e depois x=-2y=0.
Portanto a única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Assim \ker(T)=\{\mathbf{0}\}, o que prova diretamente que T é injetora.]

Passo 6

Conclusão combinando os dois argumentos:
  • Da verificação do núcleo obtemos que T é injetora.
  • Do cálculo do determinante vimos que \det(A)=3\neq 0, então A é invertível e T é bijetora; sendo bijetora e linear entre \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^3, T é um isomorfismo (fismo).
Força aí — com esse tipo de raciocínio na prova você resolve rápido: calcular imagens dos vetores da base, montar matriz, checar determinante ou resolver o núcleo por eliminação.

Resposta

T é injetora.
T é um isomorfismo (fismo).

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