Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras fismos T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T\left(\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z \\\ w\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}y \\\ z \\\ x \\\ w\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede que a transformação linear T seja classificada quanto a injetividade / sobrejetividade / isomorfismo. As informações dadas são:
Não há outras transformações a classificar; só esta. A tarefa é dizer se T é injetora, sobrejetora e se é um isomorfismo (físico/inversível).]
Passo 2
Primeiro confirmamos, de forma direta e curta, que T é linear (mesmo sendo dado no enunciado, é bom ver por que): para vetores \displaystyle u=\begin{pmatrix}x_1\y_1\z_1\w_1\end{pmatrix} e \displaystyle v=\begin{pmatrix}x_2\y_2\z_2\w_2\end{pmatrix} e escalar \lambda,
Agora examinamos o núcleo (kernel) de T. Precisamos resolver T\!\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, isto é
Desse sistema obtemos y=0,\;z=0,\;x=0,\;w=0. Logo o único vetor que vai para o zero é o vetor zero:
\ker(T)=\{0\}.
Lembrete didático: para uma transformação linear, se \ker(T)=\{0\} então T é injetora. A razão é simples: se T(u)=T(v) então T(u-v)=0, então u-v=0 e u=v. Aqui vimos que apenas o vetor zero vai para zero, então a hipótese se confirma e T é injetora.
Passo 5
Como domínio e contradomínio têm a mesma dimensão finita (\dim\mathbb{R}^4=4), existe um fato muito útil: qualquer aplicação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão é injetora se e só se é sobrejetora. Assim, do fato que T é injetora segue que T também é sobrejetora. Outra maneira construtiva e talvez mais direta (útil em prova de prova!) é encontrar explicitamente a inversa.
Verificação rápida: S(T(x,y,z,w)^\top)=(x,y,z,w)^\top e T(S(\cdot)) também dá identidade, então S é de fato a inversa. Ter uma inversa linear prova que T é bijetora (injetora + sobrejetora) e portanto é um isomorfismo.
Passo 7
Comentário adicional (opcional, para entender mais): M é uma matriz de permutação correspondente ao ciclo (1\;3\;2) (com o índice 4 fixo). Um ciclo de comprimento 3 tem sinal +1, portanto \det(M)=1. Como determinante é diferente de zero, isso também confirma que M (e portanto T) é invertível.