Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras fismos
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T\left(\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z \\\ w\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}y \\\ z \\\ x \\\ w\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que a transformação linear T seja classificada quanto a injetividade / sobrejetividade / isomorfismo. As informações dadas são:
T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4},\qquad T\!\left(\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\\[2pt]w\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}y\\[2pt]z\\[2pt]x\\[2pt]w\end{pmatrix}.
Não há outras transformações a classificar; só esta. A tarefa é dizer se T é injetora, sobrejetora e se é um isomorfismo (físico/inversível).]

Passo 2

Primeiro confirmamos, de forma direta e curta, que T é linear (mesmo sendo dado no enunciado, é bom ver por que): para vetores \displaystyle u=\begin{pmatrix}x_1\y_1\z_1\w_1\end{pmatrix} e \displaystyle v=\begin{pmatrix}x_2\y_2\z_2\w_2\end{pmatrix} e escalar \lambda,
T(u+v)=T\!\left(\begin{pmatrix}x_1+x_2\y_1+y_2\z_1+z_2\w_1+w_2\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}y_1+y_2\z_1+z_2\x_1+x_2\w_1+w_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}y_1\z_1\x_1\w_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y_2\z_2\x_2\w_2\end{pmatrix} =T(u)+T(v),
e
T(\lambda u)=\begin{pmatrix}\lambda y_1\\lambda z_1\\lambda x_1\\lambda w_1\end{pmatrix} =\lambda \begin{pmatrix}y_1\z_1\x_1\w_1\end{pmatrix}=\lambda T(u).
Portanto T preserva soma e multiplicação por escalar: é linear.

Passo 3

Vamos escrever T em termos da matriz M na base canônica. Aplicando T aos vetores da base:
T(e_1)=T\!\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=e_3, \quad T(e_2)=e_1, \quad T(e_3)=e_2, \quad T(e_4)=e_4.
As colunas de M são T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4). Assim
M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e T(v)=Mv para todo v\in\mathbb{R}^4.]

Passo 4

Agora examinamos o núcleo (kernel) de T. Precisamos resolver T\!\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, isto é
\begin{pmatrix}y\z\x\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Desse sistema obtemos y=0,\;z=0,\;x=0,\;w=0. Logo o único vetor que vai para o zero é o vetor zero:
\ker(T)=\{0\}.
Lembrete didático: para uma transformação linear, se \ker(T)=\{0\} então T é injetora. A razão é simples: se T(u)=T(v) então T(u-v)=0, então u-v=0 e u=v. Aqui vimos que apenas o vetor zero vai para zero, então a hipótese se confirma e T é injetora.

Passo 5

Como domínio e contradomínio têm a mesma dimensão finita ( \dim\mathbb{R}^4=4), existe um fato muito útil: qualquer aplicação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão é injetora se e só se é sobrejetora. Assim, do fato que T é injetora segue que T também é sobrejetora. Outra maneira construtiva e talvez mais direta (útil em prova de prova!) é encontrar explicitamente a inversa.

Passo 6

Vamos construir a inversa S de T. Se
T\!\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix},
então pelas componentes temos a=y,\;b=z,\;c=x,\;d=w. Assim recuperamos x=c,\;y=a,\;z=b,\;w=d. Logo a inversa S:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 é
S\!\begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c\a\b\d\end{pmatrix}.
Verificação rápida: S(T(x,y,z,w)^\top)=(x,y,z,w)^\top e T(S(\cdot)) também dá identidade, então S é de fato a inversa. Ter uma inversa linear prova que T é bijetora (injetora + sobrejetora) e portanto é um isomorfismo.

Passo 7

Comentário adicional (opcional, para entender mais): M é uma matriz de permutação correspondente ao ciclo (1\;3\;2) (com o índice 4 fixo). Um ciclo de comprimento 3 tem sinal +1, portanto \det(M)=1. Como determinante é diferente de zero, isso também confirma que M (e portanto T) é invertível.

Resposta

Injetora: sim.
Sobrejetora: sim.
Isomorfismo (invertível): sim — inversa dada por S\!\begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c\a\b\d\end{pmatrix}.

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