Critério usado (com explicação didática): para uma transformação linear entre espaços vetoriais finitos de mesma dimensão (aqui \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2), as seguintes propriedades são equivalentes:
T é injetora \iff o núcleo de T é \{0\}.
T é injetora \iff as colunas da matriz A são linearmente independentes.
T é injetora \iff a matriz A é invertível.
Para uma matriz 2\times 2, a matriz é invertível \iff seu determinante é diferente de zero.
A fórmula do determinante para uma matriz 2\times 2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}
é
\det = ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz conforme a posição, e se \det\neq 0 então existe uma matriz inversa A^{-1} tal que A^{-1}A=I, o que garante que T seja bijetora (injetora e sobrejetora) — ou seja, um isomorfismo.]
Passo 4
Calculemos o determinante de A. Na nossa matriz temos a=7, b=-1, c=2, d=5. Aplicando a fórmula do determinante:
Como \det(A)=37 e 37\neq 0, a matriz A é invertível.
Passo 5
Interpretação do resultado: como \det(A)\neq 0, concluímos que as colunas de A são linearmente independentes, o núcleo de T é apenas o vetor zero (isto é, se A\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\end{bmatrix} então \begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\end{bmatrix}), logo T é injetora. Além disso, para transformações lineares entre espaços de mesma dimensão finita, injetividade implica sobrejetividade; ou diretamente, como A é invertível existe A^{-1} e então T é sobrejetora. Portanto T é bijetora e invertível, ou seja, um isomorfismo.]
Passo 6
Opcional — forma explícita da inversa (para reforçar a intuição): para matriz 2\times2 a inversa é dada por