Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras fismos
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}7 x-y \\\\ 2 x+5 y\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}7x-y\\[4pt]2x+5y\end{bmatrix}.
As perguntas que precisamos responder são: T é injetora? T é sobrejetora? T é um isomorfismo (invertível)?
Informações relevantes dadas: a regra de T para um vetor genérico \begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix} em \mathbb{R}^2.]

Passo 2

Vamos escrever T na forma de matriz em relação à base canônica. A imagem dos vetores da base canônica são
T\left(\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}7\\[4pt]2\end{bmatrix},\qquad T\left(\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]5\end{bmatrix}.
Colocando essas colunas na matriz, a matriz associada A (na base canônica) é
A=\begin{pmatrix}7 & -1\\[4pt]2 & 5\end{pmatrix}.
Explicação curta do que isso significa: aplicar T a um vetor \begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix} é o mesmo que multiplicar pela matriz A:
T\left(\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}\right)=A\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}.]

Passo 3

Critério usado (com explicação didática): para uma transformação linear entre espaços vetoriais finitos de mesma dimensão (aqui \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2), as seguintes propriedades são equivalentes:
  • T é injetora \iff o núcleo de T é \{0\}.
  • T é injetora \iff as colunas da matriz A são linearmente independentes.
  • T é injetora \iff a matriz A é invertível.
  • Para uma matriz 2\times 2, a matriz é invertível \iff seu determinante é diferente de zero.
    A fórmula do determinante para uma matriz 2\times 2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}
é
\det = ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz conforme a posição, e se \det\neq 0 então existe uma matriz inversa A^{-1} tal que A^{-1}A=I, o que garante que T seja bijetora (injetora e sobrejetora) — ou seja, um isomorfismo.]

Passo 4

Calculemos o determinante de A. Na nossa matriz temos a=7, b=-1, c=2, d=5. Aplicando a fórmula do determinante:
\det(A)=ad-bc = 7\cdot 5 - (-1)\cdot 2 = 35 + 2 = 37.
Como \det(A)=37 e 37\neq 0, a matriz A é invertível.

Passo 5

Interpretação do resultado: como \det(A)\neq 0, concluímos que as colunas de A são linearmente independentes, o núcleo de T é apenas o vetor zero (isto é, se A\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\end{bmatrix} então \begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\end{bmatrix}), logo T é injetora. Além disso, para transformações lineares entre espaços de mesma dimensão finita, injetividade implica sobrejetividade; ou diretamente, como A é invertível existe A^{-1} e então T é sobrejetora. Portanto T é bijetora e invertível, ou seja, um isomorfismo.]

Passo 6

Opcional — forma explícita da inversa (para reforçar a intuição): para matriz 2\times2 a inversa é dada por
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Substituindo a=7,b=-1,c=2,d=5 e \det(A)=37 obtemos
A^{-1}=\frac{1}{37}\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]-2 & 7\end{pmatrix}.
Ter essa inversa confirma concretamente que T tem inversa linear, reforçando que T é um isomorfismo.]

Resposta

T é injetora: sim.
T é sobrejetora: sim.
T é isomorfismo (invertível): sim.

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