Classifique as sequências abaixo como monótonas, limitadas, convergentes ou divergentes:
Passo 1
Enunciado claro: temos a sequência
. O que a questão pede é que eu classifique essa sequência quanto a quatro propriedades: (i) se é monótona, (ii) se é limitada, (iii) se é convergente, (iv) se é divergente. Informações dadas: para cada inteiro
,
vale
, ou seja, os termos alternam sinais conforme
é par ou ímpar.
Passo 2
O que significa ser monótona? Vou explicar devagarzinho. Uma sequência
é
- monótona crescente se, para todo
, ; - monótona estritamente crescente se, para todo
, ; - monótona decrescente se, para todo
, ; - monótona estritamente decrescente se, para todo
, .
Se não existe uma dessas propriedades (crescente ou decrescente, possivelmente estrita), dizemos que a sequência não é monótona.
Passo 3
Testando monotonicidade em
. Vamos calcular alguns termos para intuir o comportamento:
Ou seja, os termos formam a sequência
. Observa-se que de
para
há um aumento (
para
), mas de
para
há uma diminuição (
para
). Portanto não é verdade que sempre
nem que sempre
. Conclusão: a sequência não é monótona.
Passo 4
O que significa ser limitada? Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que
para todo
. Equivalente: existem números
e
tais que
para todo
.
Passo 5
Testando limitação em
. Observando os valores que já calculamos, cada
é ou
ou
. Logo, para todo
vale
ou, em valor absoluto,
Isso mostra que podemos escolher
e a sequência será limitada. Conclusão: a sequência é limitada.
Passo 6
O que significa convergência? Dizemos que
(a sequência converge para
) se, para todo
, existe
tal que, para todo
,
. Se não existe tal
, a sequência é divergente (não converge).
Passo 7
Testando convergência em
. Vou usar um argumento com subsequências (é uma maneira muito clara aqui). Considere a subsequência dos termos com índice par:
logo
quando
. Agora a subsequência dos índices ímpares:
logo
quando
. Se a sequência original
tivesse limite
, então TODAS as subsequências teriam que convergir para o mesmo
. Aqui temos duas subsequências com limites distintos (
e
). Portanto não existe
tal que
. Conclusão: a sequência não converge, isto é, diverge.
Passo 8
(Se quiser ver um argumento direto com
: escolha
. Se existisse
tal que
para todo
, então para
par teríamos
e para
ímpar teríamos
. Essas duas desigualdades juntas são impossíveis, porque a distância entre
e
é
. Logo contradição.)
Resposta
Monótona: não\n
Limitada: sim\n
Convergente: não\n
Divergente: sim
Limitada: sim\n
Convergente: não\n
Divergente: sim