Classifique as sequências abaixo como monótonas, limitadas, convergentes ou divergentes:
b_{n}=(-1)^{n}

Passo 1

Enunciado claro: temos a sequência \,b_{n}=(-1)^{n}\,. O que a questão pede é que eu classifique essa sequência quanto a quatro propriedades: (i) se é monótona, (ii) se é limitada, (iii) se é convergente, (iv) se é divergente. Informações dadas: para cada inteiro n\ge 1, b_{n} vale (-1)^{n}, ou seja, os termos alternam sinais conforme n é par ou ímpar.

Passo 2

O que significa ser monótona? Vou explicar devagarzinho. Uma sequência \,x_n\, é
  • monótona crescente se, para todo n, \,x_{n+1}\ge x_n\,;
  • monótona estritamente crescente se, para todo n, \,x_{n+1}> x_n\,;
  • monótona decrescente se, para todo n, \,x_{n+1}\le x_n\,;
  • monótona estritamente decrescente se, para todo n, \,x_{n+1}< x_n.
    Se não existe uma dessas propriedades (crescente ou decrescente, possivelmente estrita), dizemos que a sequência não é monótona.

Passo 3

Testando monotonicidade em \,b_{n}=(-1)^{n}\,. Vamos calcular alguns termos para intuir o comportamento:
b_{1}=(-1)^{1}=-1,\quad b_{2}=(-1)^{2}=1,\quad b_{3}=(-1)^{3}=-1,\quad b_{4}=(-1)^{4}=1.
Ou seja, os termos formam a sequência -1,\,1,\,-1,\,1,\dots. Observa-se que de b_{1} para b_{2} há um aumento ( -1 para 1), mas de b_{2} para b_{3} há uma diminuição ( 1 para -1). Portanto não é verdade que sempre b_{n+1}\ge b_n nem que sempre b_{n+1}\le b_n. Conclusão: a sequência não é monótona.

Passo 4

O que significa ser limitada? Uma sequência \,x_n\, é limitada se existe um número real M>0 tal que |x_n|\le M para todo n. Equivalente: existem números m e M tais que m\le x_n\le M para todo n.

Passo 5

Testando limitação em \,b_{n}=(-1)^{n}\,. Observando os valores que já calculamos, cada b_n é ou -1 ou 1. Logo, para todo n vale
-1 \le b_n \le 1,
ou, em valor absoluto,
|b_n|\le 1.
Isso mostra que podemos escolher M=1 e a sequência será limitada. Conclusão: a sequência é limitada.

Passo 6

O que significa convergência? Dizemos que \,x_n\to L\, (a sequência converge para L) se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N, |x_n-L|<\varepsilon. Se não existe tal L, a sequência é divergente (não converge).

Passo 7

Testando convergência em \,b_{n}=(-1)^{n}\,. Vou usar um argumento com subsequências (é uma maneira muito clara aqui). Considere a subsequência dos termos com índice par:
b_{2k}=(-1)^{2k}=1\quad\text{para todo }k\ge 1,
logo \,b_{2k}\to 1\, quando k\to\infty. Agora a subsequência dos índices ímpares:
b_{2k+1}=(-1)^{2k+1}=-1\quad\text{para todo }k\ge 0,
logo \,b_{2k+1}\to -1\, quando k\to\infty. Se a sequência original \,b_n\, tivesse limite L, então TODAS as subsequências teriam que convergir para o mesmo L. Aqui temos duas subsequências com limites distintos ( 1 e -1). Portanto não existe L tal que b_n\to L. Conclusão: a sequência não converge, isto é, diverge.

Passo 8

(Se quiser ver um argumento direto com \varepsilon: escolha \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Se existisse N tal que |b_n-L|<\tfrac{1}{2} para todo n\ge N, então para n par teríamos |1-L|<\tfrac{1}{2} e para n ímpar teríamos |-1-L|<\tfrac{1}{2}. Essas duas desigualdades juntas são impossíveis, porque a distância entre 1 e -1 é 2>\!1. Logo contradição.)

Resposta

Monótona: não\n
Limitada: sim\n
Convergente: não\n
Divergente: sim

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