Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} k!}{(2 k-1)!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}k!}{(2k-1)!}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Como há alternância de sinais, primeiro vamos testar a convergência absoluta, ou seja, analisar
\sum_{k=1}^{\infty}a_k, \quad a_k = \frac{k!}{(2k-1)!}.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão em \{a_k\}. Calculamos
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{(k+1)!}{(2(k+1)-1)!}}{\frac{k!}{(2k-1)!}} = \frac{(k+1)!}{k!}\,\frac{(2k-1)!}{(2k+1)!} = \frac{k+1}{(2k+1)(2k)}.
Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
L = \lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{2k(2k+1)} = \lim_{k\to\infty}\frac{1 + 1/k}{4k + 2} = 0.
Como L<1, o teste da razão garante que \sum a_k converge.

Passo 3

A convergência de \sum a_k significa que
\sum_{k=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{k+1}k!}{(2k-1)!}\biggr|
converge. Logo, a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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