Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{3^{2 k-1}}{k^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{3^{2k-1}}{k^{2}+1}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da divergência (termo geral) e, se necessário, o teste da razão para a versão em valor absoluto.

Passo 2

Seja a_k = (-1)^{k+1}\frac{3^{2k-1}}{k^{2}+1}. Note que
|a_k| = \frac{3^{2k-1}}{k^{2}+1} = \frac{9^k}{3\,(k^2+1)}.
Como 9^k cresce exponencialmente e k^2+1 cresce apenas polinomialmente, temos
\lim_{k\to\infty}|a_k| = \lim_{k\to\infty}\frac{9^k}{3\,(k^2+1)} = \infty.
Em particular \lim_{k\to\infty}a_k não é zero, logo a série não pode convergir (teste da divergência).

Resposta

A série é divergente.

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