Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{sen} \frac{k \pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^\infty \sin\frac{k\pi}{2}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos analisar o comportamento do termo geral e aplicar o teste da divergência, e depois checar a convergência absoluta.

Passo 2

Calculemos \sin\frac{k\pi}{2} para k=1,2,3,4,\dots. Temos
\sin\frac{\pi}{2}=1,\quad \sin\pi=0,\quad \sin\frac{3\pi}{2}=-1,\quad \sin2\pi=0,
e esse padrão 1,0,-1,0,1,0,\dots se repete. Em particular
\lim_{k\to\infty}\sin\frac{k\pi}{2}
não existe (e certamente não é zero). Pelo teste da divergência, se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, consideramos
\sum_{k=1}^\infty \bigl|\sin\frac{k\pi}{2}\bigr|.
Os termos \bigl|\sin\frac{k\pi}{2}\bigr| formam a sequência 1,0,1,0,1,0,\dots, de modo que a soma dos 1 nos índices ímpares diverge. Logo não há convergência absoluta.

Resposta

A série \sum_{k=1}^\infty \sin\frac{k\pi}{2} é divergente.

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