Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo que vamos usar é o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de comparação para avaliar a convergência absoluta.
O conteúdo que vamos usar é o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de comparação para avaliar a convergência absoluta.
Passo 2
Definimos
Primeiro, verificamos o limite de
. Como
temos
Passo 3
Agora mostramos que
é decrescente. Usamos frações parciais:
Como
e
são decrescentes em
, qualquer combinação positiva delas também é decrescente. Logo
para todo
.
Passo 4
Pelo teste de Leibniz, como
é decrescente e
, a série alternada
converge.
Passo 5
Para testar a convergência absoluta, analisamos
Repare que, para
,
Como
diverge (é proporcional à série harmônica), pelo teste de comparação
diverge. Logo a série não é absolutamente convergente.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.