Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{k+2}{k(k+3)}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{k+2}{k(k+3)}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo que vamos usar é o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de comparação para avaliar a convergência absoluta.

Passo 2

Definimos
b_k = \frac{k+2}{k(k+3)}.
Primeiro, verificamos o limite de b_k. Como
b_k = \frac{k+2}{k^2+3k} = \frac{1 + 2/k}{k+3}\,,
temos
\lim_{k\to\infty}b_k = 0.

Passo 3

Agora mostramos que (b_k) é decrescente. Usamos frações parciais:
\frac{k+2}{k(k+3)} = \frac{2}{3}\,\frac{1}{k} \;+\;\frac{1}{3}\,\frac{1}{k+3}.
Como 1/k e 1/(k+3) são decrescentes em k, qualquer combinação positiva delas também é decrescente. Logo b_{k+1}\le b_k para todo k.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz, como (b_k) é decrescente e \lim b_k=0, a série alternada
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}b_k
converge.

Passo 5

Para testar a convergência absoluta, analisamos
\sum_{k=1}^{\infty}b_k.
Repare que, para k\ge1,
b_k = \frac{k+2}{k(k+3)} > \frac{k}{k(k+3)} = \frac{1}{k+3} \quad\text{e}\quad \frac{1}{k+3}\ge \frac{1}{4k}.
Como \sum 1/(4k) diverge (é proporcional à série harmônica), pelo teste de comparação \sum b_k diverge. Logo a série não é absolutamente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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