Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} k}{k^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}k}{k^{3}}
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular uso de séries- p e teste de comparação para convergência absoluta.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{\operatorname{sen}k}{k^{3}}\right| =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{|\operatorname{sen}k|}{k^{3}}.
Como |\operatorname{sen}k|\le1 para todo k, segue
\frac{|\operatorname{sen}k|}{k^{3}}\le\frac{1}{k^{3}}.
A série \sum_{k=1}^{\infty}1/k^{3} é uma série- p com p=3>1, portanto converge. Pelo teste de comparação, \sum_{k=1}^{\infty}|\operatorname{sen}k|/k^{3} converge, o que implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados