Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} k^{2}}{k^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}k^{2}}{k^{3}+1}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes: um para convergência absoluta (comparação com séries conhecidas) e outro para convergência alternada (Teste de Leibniz).

Passo 2

Testando convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos
\sum_{k=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{k+1}k^{2}}{k^{3}+1}\right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{k^{3}+1}.
Para grandes k, \tfrac{k^{2}}{k^{3}+1} se comporta como \tfrac{k^{2}}{k^{3}}=\tfrac{1}{k}. Aplicamos o Teste da Comparação Limite com a série harmônica \sum 1/k:
\lim_{k\to\infty} \frac{\tfrac{k^{2}}{k^{3}+1}}{\tfrac{1}{k}} = \lim_{k\to\infty}\frac{k^{3}}{k^{3}+1}=1\neq0,
e como \sum 1/k diverge, segue que
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{2}}{k^{3}+1}
também diverge. Logo, a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o Teste de Leibniz para séries alternadas. Definimos
b_{k}=\frac{k^{2}}{k^{3}+1},
de modo que nosso termo geral é (-1)^{k+1}b_{k}. Precisamos verificar:
  1. \lim_{k\to\infty}b_{k}=0.
  2. b_{k} é eventualmente decrescente.
Para k\to\infty,
b_{k}=\frac{k^{2}}{k^{3}+1}\sim\frac{1}{k}\to0.
Para a monotonicidade, considere a função contínua f(x)=x^{2}/(x^{3}+1). Calculando a derivada,
f'(x) =\frac{2x(x^{3}+1)-3x^{4}}{(x^{3}+1)^{2}} =\frac{-x^{4}+2x}{(x^{3}+1)^{2}} =\frac{x(-x^{3}+2)}{(x^{3}+1)^{2}}.
Para x> \sqrt[3]{2}\approx1{,}26, tem-se -x^{3}+2<0, logo f'(x)<0. Isso mostra que b_{k} é decrescente para k\ge2. Conferindo manualmente b_{2}<b_{1}, as condições do Teste de Leibniz estão satisfeitas. Portanto a série alternada converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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