Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k \ln k}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k\ln k}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes: o teste de convergência absoluta (analisando \sum|a_k|) e o teste de séries alternadas de Leibniz.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, ou seja, a série
\sum_{k=2}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{k}}{k\ln k}\biggr| =\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k\ln k}.
Pelo teste da integral, consideramos
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}.
Fazendo a substituição u=\ln x, du=\frac{dx}{x}, obtemos
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x} =\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u} =\bigl[\ln u\bigr]_{\ln 2}^{\infty} =\lim_{U\to\infty}\ln U-\ln(\ln 2) =+\infty.
Logo \sum_{k=2}^{\infty}1/(k\ln k) diverge, e a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Aplicamos o teste de séries alternadas (Leibniz). Definimos
b_k=\frac{1}{k\ln k}.
  1. Mostramos que b_k>0 e \lim_{k\to\infty}b_k=0, pois claramente k\ln k\to\infty.
  2. Verificamos que b_{k+1}<b_k para k\ge2, já que a função f(x)=1/(x\ln x) é decrescente em x>e.
Como b_k é positiva, monótona decrescente e tende a zero, o teste de Leibniz garante que
\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}b_k
converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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