Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k(k+1)}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k(k+1)}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes: um para a convergência absoluta (comparação com a série harmônica) e outro para a convergência condicional (critérios de Leibniz para séries alternadas).

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta analisando \sum_{k=1}^{\infty} \biggl|\frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k(k+1)}}\biggr| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}.
Para grandes k, temos
\sqrt{k(k+1)} = \sqrt{k^2 + k} = k \sqrt{1 + \tfrac1k} \sim k,
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\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \sim \frac{1}{k}.
Como a série \sum 1/k diverge (série harmônica), pelo teste da comparação limite (limite da razão dos termos é 1), concluímos que \sum_{k=1}^{\infty} 1/\sqrt{k(k+1)} diverge.
Portanto, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternada \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} b_{k} com
b_{k} = \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}.
Preciso checar:
  1. b_{k} > 0 para todo k.
  2. \lim_{k\to\infty} b_{k} = 0.
  3. \{b_{k}\} é decrescente.
Já vimos que \lim_{k\to\infty} b_{k} = 0. E como
k(k+1) < (k+1)(k+2) \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{k(k+1)} < \sqrt{(k+1)(k+2)} \quad\Longrightarrow\quad b_{k} > b_{k+1},
a sequência \{b_{k}\} é estritamente decrescente. Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 4

Concluímos que a série converge, mas não converge absolutamente. Logo é convergente de forma condicional.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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