1. Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
    a) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{3 k}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{3k}.
Informações dadas:
  • O termo geral é \dfrac{(-1)^{k+1}}{3k}.
  • A classificação pedida é uma entre: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
    Nada mais é fornecido.

Passo 2

Verificar a convergência absoluta: considerar a série das magnitudes dos termos, isto é
\sum_{k=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{k+1}}{3k}\right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3k}.
Fatorando a constante, isso é
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3k}=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}.
A série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} é a famosa série harmônica. Vou explicar por que ela diverge: use o teste da integral (uma maneira simples e padrão).

Passo 3

Teste da integral para a série harmônica (mostrando divergência):
Considere a função f(x)=\dfrac{1}{x}, contínua, positiva e decrescente para x\ge1. O teste da integral diz que a série \sum_{k=1}^{\infty} f(k) converge ou diverge conforme a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge ou diverge. Calcule a integral:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}[\ln x]_{1}^{t}=\lim_{t\to\infty}\ln t=\infty.
Como a integral diverge, a série harmônica \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} diverge. Portanto
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3k}=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}
também diverge (multiplicar uma série divergente por constante não-nula mantém a divergência).

Passo 4

Conclusão sobre convergência absoluta: a série das magnitudes diverge, logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Verificar convergência condicional (teste da série alternada / teste de Leibniz). Considere os termos positivos associados:
b_k=\frac{1}{3k},\qquad k=1,2,\dots
O teste de Leibniz afirma: se (b_k) é uma sequência positiva, monótona decrescente e \lim_{k\to\infty} b_k=0, então a série alternada \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} b_k converge.
Verifico as hipóteses:
  • Positividade: b_k=\dfrac{1}{3k}>0 para todo k.
  • Decrescimento: para todo k,
b_{k+1}=\frac{1}{3(k+1)}<\frac{1}{3k}=b_k,
portanto (b_k) é decrescente.
  • Limite nulo:
\lim_{k\to\infty} b_k=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{3k}=0.
Todas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas, logo a série alternada
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{3k}
converge.

Passo 6

Combinação das conclusões:
  • A série converge (por teste da série alternada).
  • A série não converge absolutamente (a série das magnitudes diverge).
Portanto a série é convergente, mas não absolutamente; isto é, é condicionalmente convergente. (Observação extra: essa série é \dfrac{1}{3} vezes a série alternada harmônica, cuja soma é \ln 2, logo a soma da série é \dfrac{1}{3}\ln 2, mas isso não era necessário para a classificação.)

Resposta

Condicionalmente convergente.

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