A série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} é a famosa série harmônica. Vou explicar por que ela diverge: use o teste da integral (uma maneira simples e padrão).
Passo 3
Teste da integral para a série harmônica (mostrando divergência):
Considere a função f(x)=\dfrac{1}{x}, contínua, positiva e decrescente para x\ge1. O teste da integral diz que a série \sum_{k=1}^{\infty} f(k) converge ou diverge conforme a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge ou diverge. Calcule a integral:
também diverge (multiplicar uma série divergente por constante não-nula mantém a divergência).
Passo 4
Conclusão sobre convergência absoluta: a série das magnitudes diverge, logo a série original não é absolutamente convergente.
Passo 5
Verificar convergência condicional (teste da série alternada / teste de Leibniz). Considere os termos positivos associados:
b_k=\frac{1}{3k},\qquad k=1,2,\dots
O teste de Leibniz afirma: se (b_k) é uma sequência positiva, monótona decrescente e \lim_{k\to\infty} b_k=0, então a série alternada \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} b_k converge.
Todas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas, logo a série alternada
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{3k}
converge.
Passo 6
Combinação das conclusões:
A série converge (por teste da série alternada).
A série não converge absolutamente (a série das magnitudes diverge).
Portanto a série é convergente, mas não absolutamente; isto é, é condicionalmente convergente. (Observação extra: essa série é \dfrac{1}{3} vezes a série alternada harmônica, cuja soma é \ln 2, logo a soma da série é \dfrac{1}{3}\ln 2, mas isso não era necessário para a classificação.)