Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
d) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4^{k+2}}{7^{k-1}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^{k+2}}{7^{k-1}}
e pede duas coisas: (1) decidir se a série converge ou diverge; (2) se convergir, encontrar a soma.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão geral do termo é \dfrac{4^{k+2}}{7^{k-1}}.
  • A soma é do índice k=1 até \infty.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral para reconhecer o tipo de série. Usamos propriedades de potências: \,4^{k+2}=4^2\cdot4^k e \,7^{k-1}=\dfrac{7^k}{7}. Portanto,
\frac{4^{k+2}}{7^{k-1}} = \frac{4^2\cdot4^k}{7^k/7} =4^2\cdot7\cdot\frac{4^k}{7^k}.
Calculando 4^2\cdot7 obtemos 16\cdot7=112. Logo
\frac{4^{k+2}}{7^{k-1}}=112\left(\frac{4}{7}\right)^k.

Passo 3

Agora identificamos o tipo de série: a série tem a forma
\sum_{k=1}^{\infty}112\left(\frac{4}{7}\right)^k,
que é uma série geométrica multiplicada por uma constante. Uma série geométrica tem termo geral a r^{k-1} (ou, como aqui, constante vezes r^k). A propriedade-chave é: se |r|<1, a série geométrica infinita converge; se |r|\ge1, diverge.
Para fixar ideia, vale lembrar a fórmula da soma parcial de uma geométrica com primeiro termo a e razão r:
S_N = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{N-1} = a\frac{1-r^N}{1-r}\quad(\text{para }r\neq1).
Se |r|<1, então \lim_{N\to\infty}r^N=0 e a soma infinita é
S=\frac{a}{1-r}.
Aqui explicando cada símbolo: a é o primeiro termo da soma infinita, r é a razão comum entre termos, S_N é a soma dos primeiros N termos e S é o limite quando N\to\infty.

Passo 4

Identificamos a razão e o primeiro termo no nosso caso. Da forma 112\left(\dfrac{4}{7}\right)^k:
  • a razão é r=\dfrac{4}{7}.
  • podemos escrever a série como 112\sum_{k=1}^{\infty}r^k. O primeiro termo da soma interna (quando k=1) é r, então o “ a” usado na fórmula pode ser pensado como a=r dentro da soma multiplicada por 112; alternativamente usamos diretamente a fórmula para séries que começam em k=1: \sum_{k=1}^\infty r^k=\dfrac{r}{1-r} quando |r|<1.
Verificamos |r|=\left|\dfrac{4}{7}\right|=\dfrac{4}{7}<1, portanto a série converge.
Agora calculamos a soma:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^{k+2}}{7^{k-1}} =112\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{4}{7}\right)^k =112\cdot\frac{\dfrac{4}{7}}{1-\dfrac{4}{7}}.
Simplificando a fração:
\frac{\dfrac{4}{7}}{1-\dfrac{4}{7}}=\frac{\dfrac{4}{7}}{\dfrac{3}{7}}=\frac{4}{3}.
Portanto a soma é
112\cdot\frac{4}{3}=\frac{448}{3}.

Passo 5

Resumo final e incentivo: a série é geométrica com razão \dfrac{4}{7}, converge porque |\dfrac{4}{7}|<1, e a soma calculada deu \dfrac{448}{3}. Bom trabalho — você está pegando o jeito de reconhecer geométricas!

Resposta

Converge.
\dfrac{448}{3}

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