1. Para cada série p, identifique p e determine se a série converge.
    b) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}.
O que se pede:
  • identificar o parâmetro p se a série for uma série do tipo p (ou seja, da forma \sum_{k=1}^{\infty}k^{-p});
  • determinar se a série converge ou diverge.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_k=\dfrac{1}{\sqrt{k}}=k^{-1/2}.
  • A série começa em k=1 e vai até infinito.

Passo 2

Definição e critério importante (teoria que vamos usar): uma série do tipo p é uma série da forma
\sum_{k=1}^{\infty} k^{-p},
onde p é um número real. O critério padrão para estas séries (conhecido como teste da série p) diz:
  • se p>1 então \sum_{k=1}^{\infty} k^{-p} converge;
  • se p\le 1 então \sum_{k=1}^{\infty} k^{-p} diverge.
Vou agora explicar por que esse critério vale (a explicação é útil para a prova e para entender o que se faz na hora).

Passo 3

Prova (esquemática e didática) do critério da série p usando o Teste da Integral:
  • Considere a função f(x)=x^{-p} para x\ge1. Para p>0 a função é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), portanto podemos aplicar o Teste da Integral: a série \sum_{k=1}^{\infty}k^{-p} e a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx
convergem ou divergem juntas.
  • Calcule a integral para p\neq 1:
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t} x^{-p}\,dx =\lim_{t\to\infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{t} =\lim_{t\to\infty}\frac{t^{1-p}-1}{1-p}.
Agora observe o expoente 1-p:
  • Se p>1 então 1-p<0 e t^{1-p}\to 0 quando t\to\infty. Logo a integral converge (para um valor finito), então a série converge.
  • Se p<1 então 1-p>0 e t^{1-p}\to\infty quando t\to\infty. Logo a integral diverge, então a série diverge.
  • Caso p=1 temos a integral
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\ln t=\infty,
que diverge; isso corresponde à série harmônica \sum 1/k que também diverge.
Portanto, concluímos o critério: a série p converge ⇔ p>1.

Passo 4

Aplicando ao caso dado: identifique p no termo geral. O termo é a_k=k^{-1/2}, então
p=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando o critério da série p:
  • Como p=\tfrac{1}{2}\le 1, pela propriedade explicada no Passo 3 a série diverge.

Passo 6

Observação alternativa (mais direta e intuitiva) por comparação com a série harmônica:
  • Para todo k\ge 1 vale \sqrt{k}\le k, portanto
\frac{1}{\sqrt{k}}\ge\frac{1}{k}.
  • Como a série harmônica \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} diverge, e os termos \dfrac{1}{\sqrt{k}} são maiores termo a termo, a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{k}} também diverge (teste de comparação simples).
    Isso é útil na prova: muitas vezes é a maneira mais rápida de mostrar divergência sem cálculo de integrais.

Passo 7

Resumo final e incentivo: aqui a série é uma série p com p=\tfrac{1}{2}, que é menor que 1, portanto diverge. Não desanima — esse tipo de raciocínio (identificar p e usar o teste da integral ou comparação) é muito direto e típico em provas; com prática fica automático.

Resposta

p=\tfrac{1}{2}
A série diverge.

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