- Para cada série
, identifique
e determine se a série converge.
b)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita
O que se pede:
- identificar o parâmetro
se a série for uma série do tipo (ou seja, da forma ); - determinar se a série converge ou diverge.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - A série começa em
e vai até infinito.
Passo 2
Definição e critério importante (teoria que vamos usar): uma série do tipo
é uma série da forma
onde
é um número real. O critério padrão para estas séries (conhecido como teste da série
) diz:
- se
então converge; - se
então diverge.
Vou agora explicar por que esse critério vale (a explicação é útil para a prova e para entender o que se faz na hora).
Passo 3
Prova (esquemática e didática) do critério da série
usando o Teste da Integral:
- Considere a função
para . Para a função é positiva, contínua e decrescente em , portanto podemos aplicar o Teste da Integral: a série e a integral imprópria
convergem ou divergem juntas.
- Calcule a integral para
:
Agora observe o expoente
:
- Se
então e quando . Logo a integral converge (para um valor finito), então a série converge. - Se
então e quando . Logo a integral diverge, então a série diverge. - Caso
temos a integral
que diverge; isso corresponde à série harmônica
que também diverge.
Portanto, concluímos o critério: a série converge ⇔
.
Portanto, concluímos o critério: a série
Passo 4
Aplicando ao caso dado: identifique
no termo geral. O termo é
, então
Passo 5
Aplicando o critério da série
:
- Como
, pela propriedade explicada no Passo 3 a série diverge.
Passo 6
Observação alternativa (mais direta e intuitiva) por comparação com a série harmônica:
- Para todo
vale , portanto
- Como a série harmônica
diverge, e os termos são maiores termo a termo, a série também diverge (teste de comparação simples).
Isso é útil na prova: muitas vezes é a maneira mais rápida de mostrar divergência sem cálculo de integrais.
Passo 7
Resumo final e incentivo: aqui a série é uma série
com
, que é menor que
, portanto diverge. Não desanima — esse tipo de raciocínio (identificar
e usar o teste da integral ou comparação) é muito direto e típico em provas; com prática fica automático.
Resposta
A série diverge.