Determine a área de um hexágono regular:
cujo lado mede 4 cm .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área de um hexágono regular cujo lado mede 4\\ \text{cm}.
Informações dadas:
  • É um hexágono regular (todos os lados e ângulos iguais).
  • O comprimento do lado é a=4\\ \text{cm}.
O pedido: calcular a área da figura (unidades: \text{cm}^2).

Passo 2

Ideia geométrica chave (explicada devagarinho): um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos congruentes formados ligando o centro do hexágono a cada par de vértices consecutivos. Cada um desses triângulos tem ângulo central igual a 360^\circ/6=60^\circ. Num triângulo isósceles com dois lados iguais que subtendem um ângulo de 60^\circ, os três lados são todos iguais, ou seja, cada um desses triângulos é equilátero. Portanto:
  • Cada um dos 6 triângulos é um triângulo equilátero de lado a.
  • Logo, a área do hexágono é 6 vezes a área de um triângulo equilátero de lado a.
Explicando por que o triângulo central é equilátero de modo bem claro: se O é o centro e A,B são vértices consecutivos, então OA=OB (raios do círculo circunscrito) e o ângulo \angle AOB=60^\circ. Num triângulo com dois lados iguais e ângulo entre eles de 60^\circ, esse triângulo é equilátero (os três lados coincidem), portanto AB=OA=OB=a.

Passo 3

Fórmula da área de um triângulo equilátero e sua dedução passo a passo (para você saber aplicar na prova sem decorar sem entender).
Considere um triângulo equilátero de lado a. Para achar sua área, calcule primeiro a altura h.
  • Ao traçar a altura, ela divide a base em dois segmentos iguais de comprimento a/2 e forma um triângulo retângulo com catetos a/2 e h e hipotenusa a.
  • Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo:
h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2.
  • Desenvolvendo:
h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}.
  • Assim,
h = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
Agora a área do triângulo (base vezes altura sobre 2) é
A_{\triangle} = \frac{\text{base}\times\text{altura}}{2} = \frac{a\cdot h}{2} = \frac{a\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)}{2}.
Simplificando:
A_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.

Passo 4

Área do hexágono: como ele é formado por 6 triângulos equiláteros congruentes,
A_{\text{hex}} = 6\cdot A_{\triangle} = 6\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2\right).
Simplificando a constante:
A_{\text{hex}} = \frac{6\sqrt{3}}{4}\,a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2.
Agora substituímos a=4\\ \text{cm}:
A_{\text{hex}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 16.
Calcule:
\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 16 = 3\sqrt{3}\cdot 8 = 24\sqrt{3}.
Portanto a área exata é 24\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.
Se quiser uma ideia numérica aproximada, usando \sqrt{3}\approx 1{,}732,
24\sqrt{3}\approx 24\times 1{,}732 \approx 41{,}57\\ \text{cm}^2.

Resposta

\;24\sqrt{3}\\ \text{cm}^2

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