Determine a área de um hexágono regular:
cujo lado mede 4 cm .
cujo lado mede 4 cm .
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área de um hexágono regular cujo lado mede
.
Informações dadas:
- É um hexágono regular (todos os lados e ângulos iguais).
- O comprimento do lado é
.
O pedido: calcular a área da figura (unidades:
).
Passo 2
Ideia geométrica chave (explicada devagarinho): um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos congruentes formados ligando o centro do hexágono a cada par de vértices consecutivos. Cada um desses triângulos tem ângulo central igual a
. Num triângulo isósceles com dois lados iguais que subtendem um ângulo de
, os três lados são todos iguais, ou seja, cada um desses triângulos é equilátero. Portanto:
- Cada um dos 6 triângulos é um triângulo equilátero de lado
. - Logo, a área do hexágono é 6 vezes a área de um triângulo equilátero de lado
.
Explicando por que o triângulo central é equilátero de modo bem claro: se
é o centro e
são vértices consecutivos, então
(raios do círculo circunscrito) e o ângulo
. Num triângulo com dois lados iguais e ângulo entre eles de
, esse triângulo é equilátero (os três lados coincidem), portanto
.
Passo 3
Fórmula da área de um triângulo equilátero e sua dedução passo a passo (para você saber aplicar na prova sem decorar sem entender).
Considere um triângulo equilátero de lado
. Para achar sua área, calcule primeiro a altura
.
- Ao traçar a altura, ela divide a base em dois segmentos iguais de comprimento
e forma um triângulo retângulo com catetos e e hipotenusa . - Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo:
- Desenvolvendo:
- Assim,
Agora a área do triângulo (base vezes altura sobre 2) é
Simplificando:
Passo 4
Área do hexágono: como ele é formado por 6 triângulos equiláteros congruentes,
Simplificando a constante:
Agora substituímos
:
Calcule:
Portanto a área exata é
.
Se quiser uma ideia numérica aproximada, usando
,