Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para a gente classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo aqui envolve dois testes básicos de séries infinitas: o teste de convergência absoluta (ou seja, analisar ) e o teste de série alternante (teste de Leibniz).
Passo 2
Vamos checar a convergência absoluta, isto é, estudar
Isso é uma p-série com p=tfrac12. Sabemos que uma p-série
sumn=1^infty1n^p
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=tfrac12<=1, logo
sumn=1^infty1raizn
diverge. Concluímos que a série não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora aplicamos o teste da série alternante (Leibniz).
Temos an = 1raizn e o sinal (-1)^n-1. Precisamos de dois requisitos:
an é decrescente para n grande, ou seja, 1raizn+1 < 1raizn para todo n>=1
limntoinftyan = limntoinfty1raizn = 0.
Ambos são verdadeiros. Pelo teste de Leibniz, a série alternante