Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sum (-1)^n-1raizn

Passo 1

O enunciado pede para a gente classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n-1raizn
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo aqui envolve dois testes básicos de séries infinitas: o teste de convergência absoluta (ou seja, analisar sum|an|) e o teste de série alternante (teste de Leibniz).

Passo 2

Vamos checar a convergência absoluta, isto é, estudar
sumn=1^inftygl|(-1)^n-1raizngr| =sumn=1^infty1raizn
Isso é uma p-série com p=tfrac12. Sabemos que uma p-série
sumn=1^infty1n^p
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=tfrac12<=1, logo
sumn=1^infty1raizn
diverge. Concluímos que a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da série alternante (Leibniz).
Temos an = 1raizn e o sinal (-1)^n-1. Precisamos de dois requisitos:
  1. an é decrescente para n grande, ou seja, 1raizn+1 < 1raizn para todo n>=1
  2. limntoinftyan = limntoinfty1raizn = 0.
Ambos são verdadeiros. Pelo teste de Leibniz, a série alternante
sumn=1^infty(-1)^n-1an
converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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