Encontre f^prime(x).
f(x)=(3 x^2+1)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(3x^2 + 1r)^2
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia, que usamos quando temos uma função “composta” f(x)=g(h(x)). Aqui, identificamos:
– a função externa g(u)=u^2,
– a função interna h(x)=3x^2+1.

Passo 2

Calculamos a derivada da função externa g(u)=u^2. Como sabemos,
g'(u) = 2u

Passo 3

Calculamos a derivada da função interna h(x)=3x^2+1. Aplicando a regra do poder e a constante,
h'(x) = ddx(3x^2) + ddx(1) = 6x + 0 = 6x

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia, que diz
f'(x) = g'l(h(x)r),cdot,h'(x)
Substituindo g'(u)=2u e h(x)=3x^2+1 e h'(x)=6x, obtemos
f'(x) = 2l(3x^2+1r)cdot 6x

Passo 5

Finalmente, simplificamos o resultado:
f'(x) = 12x,(3x^2 + 1)
Opcionalmente, podemos distribuir para ver outra forma equivalente:
f'(x) = 36x^3 + 12x

Resposta

f'(x) = 12x,(3x^2 + 1)

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